纯弯曲时的正应力：公式推导
σ=E
y
ρ
M
z
=
∫ yσ dA= MA
(3 )
与应力分析相关的截面图形几何性质图形对于 z轴的静矩轴的静矩 S z=∫A ydA
将应力表达式代入第三式，得
M=
∫
A
y dA= I Z
2
ρ A A——横截面对中性轴的惯性矩
∫ yσ dA
=
E
∫
y 2 dA
图形对于 y轴的静矩轴的静矩 S y=∫ zdAA
O dA yz
z
1
ρ纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式:
=
M曲率的计算公式 E Iz
z dA图形对 y轴的惯性矩轴的惯性矩 I yy=∫A A2 2
2图形对 z轴的惯性矩轴的惯性矩 I zz=∫A y 2dA A
EI z——梁的抗弯刚度¾公式应用条件：公式应用条件：1直梁 2纯弯曲 3线弹性
图形对 y z轴的惯性积=轴的惯性积 I yz yz
∫ yzdAA AA
y
A
σ=
My Iz
2图形对 O点的极惯性矩=∫r2 dA点的极惯性矩 I P P A
二、惯性矩1.计算公式
(1)矩形截面
b
Iz=
∫
y 2 dA
I
z
=
A
bh 3 12Ip 2=
h
z y
(2)实心圆截面
2.几种常见形状截面的惯性矩b
Iz= Iy=h
πd 464
d z y
(1)矩形截面Iz==
∫
y dA=3
2
A
∫
h 2
(3)空心圆截面(形心重合)z y
y bdy
2
bh 12
h 2
Iz= I y=
π64
(D4 d 4 )=
πD 464
(1 α 4 )α=d D
D d z y
(4)型钢截面可从型钢表中查得。
3、惯性矩的平行移轴公式设图形对于形心轴的惯性矩分别为 I yC和 I zC,图形对于平行于形心轴的两轴y、z的惯性矩分别为 I y和 I z。Iz=
IzCI
I z= I z, I+ I z, III z,I=zCII
y= yC+ a z= zC+ b
80× 203× 10 12+ (80× 20) 1220 2 )× 10 12= 105.3× 10 8 m 4 2
∫ y dA=∫ ( y2 A A
C
+ a ) dA
2
× (35
=Iy
∫∫∫=∫ z dA=∫ ( z+ b) dA= I yA A A2 C 2 A A
y C 2 dA+ 2 a y C dA+ a 2 dAC
= I zC+ 2a 0+ a2 A+ 2b 0+ b2 A——惯性矩的平行移轴公式
I z,II=
20× 803×10 12+ (20× 80) 1280 2 )×10 12= 185.3× 10 8 m 4 2
II
× (65
I Z= I z C+ Aa 2 I y= I y C+ Ab 2
Iz=?
I z= 105.3× 10 8+ 185.3× 10 8
= 290.6× 10 8 m 4