ψ(q)=e
i~(q （6）ψ
ψ
)由于 (q
2
ψ
=q2
~，同时ψ
)2(p=q2
~ψ
=p2
~ψ
~ψ
，我们可以写出
δq2
ψ
δp2
ψ
p2
≥
12
h （7）4
这正是任意的态的不确定关系。
具有==0且能使不确定乘积最小的态满足以下关系
+ip )ψ=aqψ+hψ′=0 （8） (aq
其中α是一个复参量。解这个方程，将h吸收进α，得到 ψ(q)=π
1/4
(α′)1/2exp( αq2/2)， α=α′+iα′′ （9）
。 （归一化条件要求α′>0）
更一般的满足最小不确定性关系的态可以通过平移p和q得到，如同（6）式。这些能使的
δq2p2取最小值的态被称为压缩态。我们将看到，压缩态可以被构造为拥有任意小q2
1/2
宽度。
1.2 压缩态和算符a和a+
假设我们准备了一个如（9）所示的谐振子H=hω(aa+
+
1
的==0的压缩态，2
我们想研究它随时间的演化。最简单的办法就是将最小不确定关系aqψ+hψ′=0用产生和湮灭算符重写出来，因为这两个算符有非常简单的时间演化：a(t)=e
iHt
ae iHt=e iωta，
a+(t)=eiHta+e iHt=e iωta+。
利用关系 q=
λ
2
(a+a+)，p=i
2λ
(a+ a)（第一讲），我们得到
+ip )ψ= (αq
时间依赖的态ψ(t)=e e
iHt
iHt
1
αλ2 1a+αλ2+1a+ψ=0 （10）
2λ
(()())
ψ满足
((αλ
2
2
1)a+(αλ2+1)a+)eiHtψ(t)=((αλ2 1)a( t)+(αλ2+1)a+( t))ψ(t)=0
((αλ 1)eiωta+(αλ2+1)e iωta+)ψ(t)=0 （11）