一、1．1 2. 4 3.(-1)n·(2/3)n·(1/3)·n! 4.y 2x 1 0 5.
2xsin2x cos2x
x
2
二、1. C 2. D 3. B 4. y=e x 5. C （选择填空均每题3分） 三、1. （10分） 求x 0(
解：原式=lim
x 0
lim
11 x). sinxe 1
ex-1-sinx sinx(e-1)
x
= lim
x 0
ex-1-sinx
x2ex-cosx ex sinx1
=lim =lim =
x 0x 022x2
或者：原式=lim
x 0
ex-cosx cosx(ex-1) sinx ex
=lim
x 0
ex sinx
-sinx(ex-1) 2cosx ex sinx ex
=
1
2
x arctgtdyd2y
,2 2.（10分）.设 ,求2
y ln(1 t)dxdx
ddy2t
(2t)2
dy2dy2解 2t 2 2(1 t2)
dxdx
dt1 t2dt1 t2
3.（10
分）求函数f(x) (2x [ 1,2]上的最大值和最小值。 解 f (x)
10x 1 ，得驻点x 1和不可导点x 0。 4分 3x
23
由 f(1) 3,f(0) 0,f( 1) 7,f(2) 2， 3分
比较可得 最大值为f(0) 0，最小值为f( 1) 7. 3分 4.（10分）设y y(x)由2y3 2y2 2xy x2 1确定，求y y(x)的驻点，
并判断它是否为极值点。
解：6y y 4y y 2y 2xy 2x 0，令y 0得y x
32
代入方程：2x x 1 0，得唯一驻点： x = 1 5分
2
12y (y )2 6y2 y 4(y )2 4y y 4y 2xy 2 0
1
0，故x = 1为极小点。 5分
y 12
x
5.（10分）设常数k 0，判断方程lnx k 0在(0, )内实根的个数，并说明理由。
e11x
解 设f(x) lnx k，f (x) ，当x e时，f (x) 0，f(x)单调减少；
xee
当0 x e时，f (x) 0，f(x)单调增加； 5分
lnx1k
f(x) limf(x) limx( ) ， 又 f(e) k 0，lim，
x x x 0 xex
所以，方程在(0,e)和(e, )内分别有且仅有一个实根。 5分
所以，y x 1