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22数学通讯 2007年第22期
圆锥曲线焦点弦长的一个公式及应用
彭世金
(常德市第六中学,湖南 415003)
2)焦点在与y轴平行(重合)的对称轴
定理 设倾斜角为α的直线经过对称轴
与坐标轴平行(重合)的圆锥曲线的焦点F,且与圆锥曲线交于A,B两点,记圆锥曲线的离心率为e,焦点F到相应准线的距离为p,则
1)当焦点在与x轴平行(重合)的对称
轴上时,弦AB的长AB=;
1-e2cos22)当焦点在与y轴平行(重合)的对称
轴上时,弦AB的长AB=.
1-e2sin2本文仅以焦点在x2-2=1(a
ab
>0,b0),焦点F(-c,0)到相应准线的距
2
2
上,当A,B在椭圆、抛物线或双曲线的同一
支上时,AB=;当A,B不在双
1-e2sin2α
曲线的同一支上时,AB=22.
esinα-1
下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的应用.
例1 (22题)2
2
=1F1,
F2B,D两点,过F2的直
A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.
(I)设P点的坐标为(x0,
y0),证明:
2
3
+
2
2
<1.
(II)求四边形ABCD的
离p=c-
=,离心率e=,弦AB所cca
22
α,x=-c+tcos
(t为参数).
α,y=tsin
将其与双曲线方程联立,整理得(a2sin2α22
)t2+2b2ccosα t-b4=0,-bcosα
于是由t的几何意义可得:
AB
=
2
面积的最小值.
图1 例1图
解(I)(略).
(II)设直线BD的倾斜角为α,由AC⊥
π
BD可知,直线AC的倾斜角为α+,或α-2
22
,由椭圆+=1得焦点到相应准线的232
距离p=-c=2,离心率e=.又BD,
c3AC分别过椭圆的左,右焦点F1,F2,于是
BD
=
2
t1-t2=
-2222
asinα-bcosα
2
==22
a1-ecos=.
1-e2cos2x轴平行(重合)的对
4
2
2222)asinα-bcosα
2
=2222
asinα-bcos2
22
ca1-ecos注 1)焦点在与
=,22
1-ecosα3-cos2α
AC=
α)1-e2cos2(
2
π
=
.
3-sin2α
称轴上,当A,B在椭圆、抛物线或双曲线的
一支上时,AB=;当A,B不在
1-e2cos2α
双曲线的一支上时,AB=22.
ecosα-1
四边形ABCD的面积
S=BDAC
2
=
2
23-cosα3-sin2α