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2007年第22期 数学通讯23
.
(3-cosα) (3-sinα)α24+sin22α∈[0,π),∴α∈[0,1],故S∈∵sin22
=
2
2
=
[
,4].25
故四边形ABCD的面积的最小值是
2
.25
例2 (2005年高考全国卷II文第22
2
题)P,Q,M,N四点都在椭圆x+
2
=1上,
Fy.PFFQ,MFN,且M=0.求
四边形PQMN的面积的最小值和最大值.
解 由条件知MN,PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且MN⊥PQ.设
MN的倾斜角为α,则PQ的倾斜角为α+,
2
2
π2
或α-,由椭圆x+=1知焦点在y轴22
上,且焦点到相应准线的距离=-=
c
2
1,=
=
2
=,22
1-esinα2-sin2α
圆C1的右焦点.
(
I)当AB⊥x轴时,求p,m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(II)若p=且抛物线C2的焦点在直
3
线AB上,求m的值及直线AB的方程.
解 (I)当AB⊥x轴时,点A,B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,))
或(1,-.图2 例3图
22
因为点A在抛物线上,所以=2p,即
4
p=.此时C2的焦点坐标为(),该焦
8上.
π
,(知α.
2
α (x-1).因C2y=tan的焦点在AB上,焦准距p=,离心率e=1,
3
故AB==.又AB22
)1-ecosα3(1-cos2α
过C1的右焦点,焦准距p1=-c=3,e1=
c
2
PQ=
α)1-e2sin2(
2
=
.
2-cos2α
四边形PQMN的面积
S=MN PQ
2
2
22-sinα2-cos2α=.
α8+sin22
α∈[0,π),∴α∈[0,1],故S∈∵sin22
=
[
=.22
1-e1cosα4-cos2α于是有=,解得2
)3(1-cosα4-cos2α
α=±.因为C2的焦点cos2α=,tan7(,m)在直线y=tanα (x-1)上,所以F3,故AB2
=
m=-
αtan,即m=或m=-.333
时,直线AB的方程为y3
时,直线AB的方程为y=3
,2].9
=-
当m=
故四边形PQMN的面积的最小值和最
大值分别是和2.
9
例3 (2006年高考湖南卷文21题)已知椭圆C1:
2
(x-1);
当m=-(x-1).
4
+
2
3
2
=1,抛物线C2:(y-m)
=2px(p>0),且C1,C2的公共弦AB过椭
(收稿日期:2007-07-16)