常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)
dy24) y;dx9
4
（ (y 1)2p2 y 0解： y 0为(3)的解 9
2
2(y 1)p 0(3).(y 1)2(Fp' 2(y 1)p2
"Fpp|y 0
44
0.99
2(y 1)2 2 0,Fp'| 0,
y 0
故y 0为(3)的奇解。
习题4-3
1．试求克莱洛方程的通解及其包络： y xp (p),(p 解：通解为y Cx (C),( C)
特解为x '(p),y '(p)p (p),p (x),y x (x) ( (x)).
判断y x (x) ( (x))是否为奇解。（是）
y Cx (C) 0,
x '(C) C (x) y x (x) ( (x))
x '(C) 0.
:x C,y y C (C) ( (C)), ；x '(C),y C '(C) (C)
dy
,1) (0,0).dx
故通解为y Cx (C),( C),特解为x '(p),y '(p)p (p), :x '(C).其中( "(C), '(C)) (0,0),( C
dy
), "(p) 0. dx
y C '(C) (C)克莱洛方程的包络。2试求一微分方程，使它有奇解为y sinx
解：领x C,y sinC,
(x C)2 y sinC 0,dy
y sinx,(1,cosC) (0,0),(2(x C) cosx,1) (0,0).
dx 2(x C) 0,
(x C)2 y sinx 0,
(cosx p)2(cosx p)2 2
(x C) , y sinx . y dy
2(x C) cosx 0,44 dx
xp parccosp p2
故微分方程y xp parccosp p2有奇解为y sinx.