青岛版新版《圆的对称性》第一课时
3.1
圆的对称性(1) -----垂径定理浞景学校 张呈玲
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学习目标： 理解圆的轴对称性及其相关性质； 理解垂径定理； 会运用垂径定理解决有关问题。
重点、难点：垂径定理及其应用。
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预习案的交流与展示：知识准备： 什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴 对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴 对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、 菱形、等腰梯形、正方形等。
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圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB” . ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB (用两个字母).
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB (用三个字母).
B A
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB).
●
O
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
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自主学习：1、圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形.如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 圆的对称轴是任意一条经过 圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.●
O
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自主学习：
2、按下面的步骤做一做： 1)拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合. 2)得到一条折痕CD. 3)在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线，得到新的折 痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足. 4)将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B,如上图. 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等 的线段和相等的弧？ 它们为什么相等呢？
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自主学习：角能 形不 得能 出试 上着 面利 的用 等构 量造 关等 系腰 ？三
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,D C M└●
BO
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.∴
⌒ ⌒ AC = BC,
⌒ ⌒ AD = BD.
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自主学习：
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关 系？ 证明： 连接OA,OB, 则OA=OB. C ∵CD⊥AB于M A B ∴AM=BM. M└ ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 . O ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D 重合, AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AC = BC, AD = BD.●
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探究一：垂径定理的三种语言定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.CA B O
M└●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
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同步训练：D
在下列
图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧？AB E A
O
O
C
E
O
AA
E C
BC
B
DO E C B
OD
A
E D
B
A
E C
B
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探究二：垂径定理的应用例1:如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D,且AC=BD。 求证：OA=OB。
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探究二：垂径定理的应用例2:如图，已知在⊙O 中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的半径。A E B
. O
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实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ⌒ ,点o是 CD ⌒ 的圆 心),其 (即图中 CD ⌒ 中CD=600m,E为 CD 上一点，且 OE⊥CD ,垂足为F,EF=90m,求这段 弯路的半径。C
EF O D
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挑战自我：如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一 条弦AB,使点P恰为AB的中点吗？ 说明你的理由。
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你说、我说、大家说：
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当堂达标：1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M,AB为直径， A 则下列结论不正确的是( C ) C ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ M└ A、AC=AD B、BC=BD O C、AM=OM D、CM=DM●
D
2.已知⊙O的直径AB=10,弦CD ⊥AB, 垂足为M,OM=3,则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M,AB为直径， 若CD=10,AM=1,则⊙O的半径是 13 .
B
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赵州石拱桥 1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
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课后提升：
船能过拱桥吗如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出 水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱 桥吗？