第三章 金属塑性变形的力学基础
第四节 本构方程
第一讲 增量理论本构方程
弹性应力应变关系特点 塑性应力应变关系特点 增量理论本构方程
弹性应力应变关系广义虎克定律
在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定 律表达，即
E , 2G
一般应力状态，用广义虎克定律： x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x
v ( v ( v (
y
z )]; x )]; y )];
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz zx
y
z
yz
z
x
zx
E——弹性模量； v——泊松比； G——切变模量(剪切模量);G E 2 (1 v )
弹性应力应变关系 x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x
v ( v ( v ( 1 E
y
z )]; x )]; y )];
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz zx
y
z
yz
z
x
zx
z )]
G
E 2 (1 v )
x y z
[
x
y
z
2 v (
x
y
3 m
3 E
m
(1 2 v )
m
1 2v E
m
物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力 球张量使物体产生弹性的体积改变。
弹性应力应变关系 x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x
v ( v ( v (
y
z )]; x )]; y )];
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz zx
y
z
yz
z
x
zx
G
E 2 (1 v )
x m 1 v 2 E 3 1 v
1 Ex
[ x v (
y
z)
1 3
( x
y
z)
2v 3
( x
y
z )]
1 v 3 3 E 1 ( x m ) x' 2 G (1 v ) 2Gy
z
1 x ( x 3
y
1 v z ) ( x m ) E
弹性应力应变关系 x ' y ' z ' 1 2G 1 2G 1 2G
x '; y '; z ';
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz
yz
zx
zx
ij ' m
1 2GE
ij '
1 2v
m
广义虎克定律的张量形式
ij ij ' ij m
1 2G
ij '
1 2v E
ij m
弹性应力应变关系 x ' y ' z ' 1 2G 1 2G 1 2G
x '; y '; z ';
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz
yz
zx
zx
ij '
1 2G
ij '
广义虎克定律的其它形式 x' x'
y' y'
z' z'
xy
xy z
yz yz
zx
zx
1 2G
x y x y
y z y
z x z x
xy
xy
yz yz
zx
zx
1 2G
弹性应力应变关系 x y x y
y z y
z
z x z x
xy
xy2
yz yz
zx
zx2
1 2G2 2 yz
(
1 2
(
x
y ) ( 2
y
z ) (
z
x ) 6 ( xy xy yz zx
zx )2
y ) 2 G ( x y ) ( y z ) 2 G ( y z ) ( z x ) 2 G ( z x ) x
xy 2 G yz 2 G zx 2 G 2
2
G
E 2 (1 v ) 2 yz
2G 21 E
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2
2 xy
2 zx
)
2 1 v
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
弹性应力应变关系
2G 21 E
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
2 1 v1 2 (1 v )
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
令
i
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
E i
i
——弹性应变强度
弹性应力应变关系 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与 全量应变主轴重合; 变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应 变之间存在单值关系; 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的 变化，泊松比v<0.5;
塑性应力应变关系弹性变形——σ-ε对应，如σc永远对应εc
理想—— σs对应任何应变 塑性变形 硬化
σs→ σe (加载) → εe σf→ σe (卸载) → εf'
塑性应力应变关系
相同的应力状态(2、4、5), 对应不同的应变状态； 相同的应变状态(1、2及3、4) 对应不同的应力状态。
塑性应力应变关系1、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变 主轴与应力主轴不一定重合；2、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力应变关系不再保持单值关系； 3、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量 为零，泊松比v=0.5; 4、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的 屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服 应力要高。
弹性应力应变关系应力与应变完全成线性关系，即 应力主轴与全量应变主轴重合
塑性应力应变关系应力与应变之间的关系是非线性的， 全量应变主轴与应力主轴不一定重合
变形是可逆的，与应变历史无关， 变形是不可逆的，与应变历史有关， 应力与应变之间存在单值关系 即应力-应变关系不再保持单值关系
弹性变形时，
应力球张量使物体 产生体积的变化，泊松比v<0.5
塑性变形时可以认为体积不变，即应 变球张量为零，泊松比v=0.5 对于应变硬化材科，卸载后再重新加 载时的屈服应力就是卸载时的屈服应 力，比初始屈服应力要高
应力应变关系增量理论增量理论是描述材料处于塑性状态时，
应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。
应力应变关系增量理论1870年，圣维南(B.Saint Vonant)提出 应力主轴与应变增量主轴重合，而不与全量应变主轴重合。 ——应力~应变速率方程 1871年，列维(M.Levy)提出应力~应变增量关系。 1913年，米塞斯(Mises)提出与列维相同的方程——进入应用阶段。 ——Levy-Mises方程 1924年，普朗特(L.Prandtl)提出平面变形问题的弹塑性增量方程，劳 斯(A.Reuss)推广至一般状态。 ——Prandtl~ Reuss方程
应力应变关系增量理论1、Levy-Mises理论(Levy-Mises方程)1)材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就 是总的应变增量。
2)材料符合Mises屈服准则，即 s3)每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。 4)塑性变形时体积不变，即 d x d y d z d 1 d 2 d 3 0
在上述假设基础上，假设应变增量与应力偏量成正比，得LevyMises方程d ij ij ' d
dλ——瞬时非负比例系数，加载时 dλ>0,卸载时dλ=0
应力应变关系增量理论d ij ij ' d
Levy-Mises方程的其它形式d x d y d z d d d
x'
y'
z'
xy
xy
yz
zx
yz
zx
d
d x d y
x
d y d z
d z d x
y
y
z
z
d
x
应力应变关系增量理论d x
x'
d y
y'
d z
z' 2 2 2
d
xy
xy
d
yz
d
zx
yz
zx
d
d x d yx
d y d zy
d z d x
y
z
z
d
x
( d x d y ) ( ( d y d z ) ( ( d z d x ) ( 6(d 2 xy
x y z2 zx
2 2 y ) d 2 2 z ) d 2 2 x ) d
d
2 yz
d
) 6 ( xy 2
2 yz
zx ) d 2
2
(d x d y ) (d y d z ) (d z d x ) 6(d [( x
2
2
2
2 xy
d
2 yz 2
d 2
2 zx
)
y ) (
2
y
z ) (
2
z
x ) 6 ( xy
2
2
2 yz
zx )] d