2+bx+c 二次函数y=ax
的图象和性质
二次函数
y 4( x 2) 12
图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？ 我们知道,像二次函数y=a(x-h)2+k的图象, 顶点坐标为 ,通过平移抛物线y=ax2可以得 (h,k) 到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？
例1、怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h)2+k的形式?
配方:
老师提示:
y 3x 2 6 x 5 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 2 3 x 1 3
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
配方后的表达 式通常称为顶 点式
3 x 1 2.2
函数y=3x2-6x+5的图象有何特征2.根据(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点 坐标. 2
y 3 x 1 2.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
直接画函数y=ax²+bx+c的图象 如何画出函数y=3x2-6x+5的图象？列表:根据对称性,选取适当值列表计算.x …2
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y 3 x 1 2描表、连线
…
29
14
5
2
5
14
29
…
通过图象你能看
y 3x 2 6 x 5
出当x取何值时y随x的增大而减 小，当x取何值●
时，y随x的增大 而增大吗？x=1
(1,2)
当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大 而增大.
画出y=
1 x2-6x+21的图象. 2
1 2 配方得： y= x -6x+21 2
= 1 (x-6)2+32
由此可知，抛物线 y= x2-6x+21 的顶点是点(6,3),对称轴是直线x=6.
1 2
y
1 2 y= 2 x -6x+21 20
(0,21)
·
(12,21) ·1
y= 2 (x-6)2+3
怎样画二次函数 15 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象？10
怎样平移抛物线1 y= 2 x2得到抛物线1 y= 2
(x-6)2+3
x>6 当_____时y随5
x的增大而增
(4,5)
大O
· · (8,5) · (6,3)5
x<6 当_____时y随x
的增大而减小
x=6
10
x
函数y=ax²+bx+c的顶点式一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶 点坐标.
b 4ac b2 y a x . 2a 4a 函数y=ax²+bx+c的顶点式2
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标.
配方:
y ax2 bx cc 2 b a x x a c 2提取二次项系数
提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 a 2a 2a a 数绝对值一半 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项
合并同类项 b 4ac b2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a 2
顶点坐标公式
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a 2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b 2 . 它的顶点是 , 2a 4a
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标
1 . y 3x2 2x; 3 . y 2x2
2 . y x2 2x;1 2 4 . y x 4 x 3. 2
8x 8;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质1.顶点坐标与对称轴
2.位置与开口方向3.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1 y 2x 2 12x 13; 对称轴是x=3,顶点坐标是(3,-5)
2 y 5x 2 80x 319;对称轴是x=8,顶点坐标是(8,1)
对称轴是x=0,顶点坐标是(0,12)