数学建模中主成分分析法的应用
第24卷第1期2009年1月
乐山师范学院学报
JournalofLeshanTeachersCollege
Vol．24,No．1Jan．2009
主成分分析法在学生成绩评价中的应用
马燕
（伊犁师范学院生命资源环境系，新疆奎屯833200）
摘要：本文运用主成分分析法，分析了伊犁师范学院奎屯校区06汉旅游管理班06-07学年的考试成绩，并根据综合得分给出了科学的排名，对学生在学科中的优势与劣势进行了说明，客观地反映了学生在学科成绩方面的特征。
关键词：主成分分析法；综合排名；学生成绩中图分类号：TP3
文献标识码：A
文章编号：1009-8666（2009）01-0131-03
通常情况下，学校在评价学生成绩时，主要采
用的是多门课程总平均分排名的方法。这种方法对于学生的成绩评价过于笼统，看不出学生在各学科间的优势与劣势。为了解决传统评价方法中的缺陷，本文认为可以使用主成分分析法来对学生成绩进行科学的评价和学科间具体的优势、劣势的度量。通过设定公共因子可以解决传统方法中课程门数过多的弊端，其能清晰地揭示影响学生成绩的主要原因，对促进学生能力不断发展具有重要意义[1]。
设有个n个样本，每个样本有m个数据，记x11…x1m
（x1，x2，…，xm）为x=………=
xn1…xnm
（1）对x的列进行标准化变换
xxj=（xij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）j/σj，
*
m
mmmmmmmmm
mmmmmmmmmm
其中j=1
σ=1Σx，
2j
n
ij
(xijj2，得标准化矩
i=1
m
mmmmmmmmm
x11…x1m
阵x*，仍记为x=………
一、主成分分析法
（一）主成分分析法和评价模型
主成分因子分析是将多个指标化为少数指标且能保持最大原始数据的相关性的一种方法。在（i=1，2，主成分分析中较为重要的方差贡献βi=…，k），表示第i个公因子在消除i-1个公因子影响后，使方差贡献取到的最大值。用它主要衡量第
i个公因子的重要程度。因此我们可以以βi为权重，建立相应的评价模型：F=β1F1+β2F2+…+βkFk，其中F1，F2，…，Fk为相应的用来综合描述原始指标的个k个公因子，计算综合得分并排序[2]。
（二）主成分分析法的分析步骤[1]
xn1…xnm
（2）用计算机计算指标变量的相关系数矩阵
r11…r1mn
R=………=x’x，其中rij=Σxijxik=nni=1
rm1…rmm
mmmmmmmmmm
mmmmmmmmmm
mmmmmmmmmm
1x’
xk，j，k=1，2，…，m.j
（3）用相关系数矩阵进行主成分分析，计算R的特征值λi和特征向量ai，i=1，2，…，n
（4）确定主成分个数，称λk/（Σλk）为第k个
i=1p
称（Σλ）（Σλ）主成分的信息贡献率，记为βk，i/i
i=1
i=1
kp
收稿日期：2008-01-03
作者简介：马燕（1976-），女，山东莒南人，伊犁师范学院生命资源环境系讲师，硕士，主要从事旅游专业的教学。