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韩哥智慧之窗-精品文档 1 专练09 相似三角形、圆大题（20题）
1．（2020·湖南九年级期末）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．
(1)求证：△ABC ∽△FCD ；
(2)若S △ABC ＝20，BC ＝10，求DE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
3DE =
解：（1）∵AD AC =，
∴ADC ACD ∠=∠，
∵D 是BC 边上的中点且DE BC ⊥
∴EB EC =，
∴EBC ECB ∠=∠，
∴ABC FCD ；
（2）如图，过点A 作AM CD ⊥于点M ， ∵1
202ABC S BC AM =?=， ∴1
10202AM ?=，解得4AM =，
∵AD AC =，AM CD ⊥，
∴DM MC =，
∵BD CD =，
∴2BD DM =，
∵DE BC ⊥，AM CD ⊥，
∴//DE AM ， ∴2
3DE BD
AM BM ==，