数学
理论发展就正是如此：“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
单位闭区间上所有平方可积的实函数（就是说 f（x）的平方在[0，1]上的积分存在且有限）按照函数的加法和数乘成为一个线性空间，然后我们定义内积如下：<f，g>= ∫|f*g|dx，范数‖f‖=根号<f，f>=根号∫（f）^2dx。容易验证它们满足内积和范数的几个公理（有兴趣的同学可以随便翻翻任何一本泛函书）。这样把（平方可积）函数看作一个个的点，由函数线性运算和以上定义的内积就构成一个函数空间，叫做L^2（大L2空间）。
经过一些推理以后，可以证明（约化后的）L^2空间等价于小l^2空间（这个等价是指一种完全保留线性运算和内积的一一映射，我在这里就不具体讲了）。
由于这个性质证起来简单，所以一般的泛函教科书都没有怎么重点提这个定理。可是对我而言，它却是最有启发性的定理之一。这个定理我认为是继笛卡尔发明了坐标系把几何和代数联系起来以后这方面最伟大的成就，因为有了这个定理，我们就可以真正把一个函数也看作是某个空间里的一个点，而且在这个空间里也有距离：ρ（f，g）=‖f-g‖，有内积用来定出基，也就是坐标系（L^2的坐标系有很多种，最出名和常用的是三角函数系），换一句话说，我们可以用几何的工具来研究一族函数的性质了。
说了这么半天，恐怕很多人还不知道为什么这们学科叫做*泛函*分析。
什么是函数? 最狭义的函数恐怕就是从实数（R^1）到实数的映射了。现在我们把定义域扩展为所有Hilbert space上的点（经常本身就是一个函数了，象L^2），值域不变仍然为实数，这样的映射就是所谓的泛函数简称泛函了。就像函数在实数理论里面占的地位一样，泛函在整个泛函分析里面也起到举足轻重的作用。
最简单而又不太trivial的实函数大概就是线性函数了，同样的，泛函分析也从线性泛函讲起.（球星是个例外，我当时被迫从非线性泛函课开始，那个飞机坐的...） 实数上有多少线性函数呢? 无穷多? 当然是:-），那么有多么无穷多? 我们知道所有线性实函数都具有这种形式：f（x）=kx，k是一个实数。而且反过来说，不同的k都对应着一个不同的线性实函数。这样我们就有了一个从R^1上所有线性实函数到R^1自身的一一对应。也就是说，这个函数空间和R^1自身等价。