数学
对于Hilbert space也有类似的结论：一个Hilbert space的对偶空间（就是所有它的线性连续泛函组成的空间）等价于它自身，进一步，所有的线性连续泛函 I（f）: H---> R 可以表示成为内积的形式: I（f）=<f，g*> for some g* in H。（对了在这里再重新提一下，常用的平方可积函数空间L^2的内积是积分的形式: ∫f*g，f，g∈L^2，所以所有的线性连续泛函就都是带一个因子g的积分了.） 这个Hilbert space上最根本的定理几乎把Hilbert space和Euclidean space（欧几里得空间）等同起来了，在那时大家都很高兴，毕竟Euclidean space的性质我们了解的最多，也最“好”。
狄立克莱（Dirichlet）原理就是在这个背景下提出的：任何连续泛函在有界闭集上达到其极值。这个结论在Euclidean space上是以公理的形式规定下来的（参见数学分析的实数基本定理部分），具体说来就叫做有界闭集上的连续函数必有极值，而且存在点使得这个函数达到它。
在拓扑学上等价于局部紧性的这个东东，很可惜在一般的Hilbert space上却是不成立的：闭区间[0，1]上的L^2空间有一个很自然的连续泛函：I（f）=∫|f（x）|dx。容易证明，它的范数‖I‖=sup|I（f）|/‖f‖=1.在这个L^2的单位闭球面（所有范数等于1 的f）上存在这么一个子序列：f_n（x）=n，当x∈[0，1/n^2]; f_n（x）=0，当x>1/n^2。按照L^2上范数的定义，‖f_n‖=∫f^2（x）dx =1，for all n。0≤I（f）==>I在这个有界闭集上的最小值≤0，而且I（f_n）=1/n→0。但是我们看到，当f_n弱收敛到常函数零时，它已经不在单位闭球面上了（严格的证明可以在一些课本上找到）。
一、定义
线性完备内积空间称为Hilbert space。
线性（linearity）：对任意f，g∈H，a，b∈R，a*f+b*g仍然∈H。
完备（completeness）：对H上的任意柯西序列必收敛于H上的某一点。——相当于闭集的定义。