a3273 2
(a 3)(8a 3a 9) 0 a 3,a 2
a
1816
a2 13 2 a 1 a 不合题意，舍去)， a 3. --------- 17分 a16
S BFDBD BFsinB
(1 ). ---------5分 21、证明 由
S ABCBC BAsinB同理
S DECS
(1 ), AEF (1 )。 ---------- 10分 S ABCS ABC
所以，
S DEFS ABC S BFD S DEC S AEF
1 (1 ) (1 ) (1 ) S ABCS ABC
=(1 )(1 )(1 ) ,等号成立 1或 1或 1。 ----20分
因此S DEF S ABC，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B重合。 ----- 25分
22、证明 （1）考虑区域0 x n,0 y m,且该区域上的格点为nm个。又该区域由区域E：
0 x n,0 y ax3,以及区域F
：0 y m,0 x
组成。 3
在区域E上，直线段x k(k N,1 k n)上的格点为[ak]个， 所以区域E上的 格点数为
k 1m
n
[ak3]。 ----------------- 5分
同理区域F
上的格点数为
n
k 13
m
。 ----------------- 10分
由容斥原理，N ak mn。 -------------------------15分
k 1k 1（2）当a是一个正整数时，曲线y ax上的点（k,ak）(k N,1 k n)都是格点，所以（1）中的N=n。同时，m an。将以上数据代入（1）得
3
33
k 1
an3
。 ----------------- 25分 na243
an a k n n (n 1)n(3n 1)
4k 1