《 离散数学 》试卷 第 3 页 共 2 页
2. 证明 对任意的<x ，y >∈A ×B ，由R 1是A 上的等价关系可得<x ，x >∈R 1，由R 2是B 上的等价关系可得<y ，y >∈R 2。再由R 的定义，有<<x ，y >，<x ，y >>∈R ，所以R 是自反的。 2分
对任意的<x ，y >、<u ，v >∈A ×B ，若<x ，y >R <u ，v >，则<x ，u >∈R 1且<y ，v >∈R 2。由R 1对称得<u ，x >∈R 1，由R 2对称得<v ，y >∈R 2。再由R 的定义，有<<u ，v >，<x ，y >>∈R ，即<u ，v >R <x ，y >，所以R 是对称的。 6分
对任意的<x ，y >、<u ，v >、<s ，t >∈A ×B ，若<x ，y >R <u ，v >且<u ，v >R <s ，t >，则<x ，u >∈R 1且<y ，v >∈R 2，<u ，s >∈R 1且<v ，t >∈R 2。由<x ，u >∈R 1、<u ，s >∈R 1及R 1的传递性得<x ，s >∈R 1，由<y ，v >∈R 2、<v ，t >∈R 2及R 2的传递性得<y ，t >∈R 1。再由R 的定义，有<<x ，y >，<s ，t >>
∈R ，即<x ，y >R <s ，t >，所以R 是传递的。 10分
综上可得，R 是A ×B 上的等价关系。
3.（1）1122,,,x y x y I I ?<><>∈?，若),(),(2211><=><y x f y x f ，即
>-+>=<-+<22221111,,y x y x y x y x ，则?????-=-+=+2
2112211y x y x y x y x ，
易得21x x =且21y y =，因此1122,,x y x y <>=<>，所以f 是单射函数。 4分
（2）取任意E E q p ?>∈<,，若存在I I y x ?>∈<,，使>=<><q p y x f ,),(，
则有?????=-=+q y x p y x ，易得???
????-=+=22q p y q p x ，由于E q p ∈,，从而存在I k k ∈21,，使212,2k q k p ==，
于是?????-=+=2
121k k y k k x
所以有I y I x ∈∈,。因此对于E E q p ?>∈<,，总存在,x y I I <>∈?，使得>=<><q p y x f ,),(，
所以f 是满射函数。 9