宿州学院毕业论文（设计） 1.概述GM(1,1)模型在滑坡沉降预测可行性
1 概述GM（1，1）模型在滑坡沉降预测可行性
滑坡预报就是在预先充分了解和掌握地质概况的前提上，选定代表了全部滑坡
变形情况关键点的位移时序信息，并经由分析、计算、归纳、判断，对此滑坡变形的变化趋势以及失去稳定的时间做出预测的一门学科。
目前最为常用的滑坡沉降预测方法一般有：最小方差预测法、回归分析法、马尔柯夫预测法、趋势外推法、法德尔菲法等。研究结果表明，如果观测的数据较长时，以上各种数学建模方法通常都可以获得合理的预报结果．但对于数据数量贫乏时，由于信息量少且规律性不强，从而导致统计预测存在着较大难度，而且精度不高。在此情况下，灰色预测模型就具有较大的优越性。
灰色预测一般可分为以下四大类：
1.对灾变进行预测，就是指对超出某一界限的异常值所出现的时间的预测。 2.数列预测，就是指对系统的行为特征指标数据产生的序列的灰色预测。 3.拓扑预测，它是用于预测一个阶段内系统的行为特征指标观测值的波形。数列预测和拓扑预测的不同是，数列预测是对数据波形本身的预测，而拓扑预测是对波形估值。
4.系统综合预测，它是对系统的行为特征指标建立一组联系的灰色预测模型，预测系统整体变化也会引起预测系统各个部分变化的方法，它是对系统的综合研究。 灰色预测模型的特点主要有：
1.灰色模型寻找的不是先验规律而是一种现实规律。灰色系统认为尽管数据是杂乱的，现象是朦胧的，但毕竟是有序的、有整体功能的，因此，杂乱无章的数据后面必然潜藏着某种规律。灰色模型就是从无规律的原始数据中去发现，开拓，寻找这种内在规律。
2.灰色模型是生成数据模型，而不是原始数据模型。因此，理论的预测数据，不是直接从生成的模型得到的数据，而是还原后的数据或者是通过生成数据灰色模型能得到的预测必须作逆生成处理。
3.该模型不是差分模型，而是微分方程型的模型。灰色预测模型可以通过分析系统的整体发展变化来做出长期的预测，而差分模型则是一种递推的模型，只能按阶段分析系统的发展，仅能用于短期分析。
本文在宿州某郊区一滑坡现有沉降观测数据的基础上，利用GM(1,1)模型对该滑 坡进行沉降建模及预测，同时将其得到的结果与回归模型的预测结果进行对比分析，最后得出了一些参考性的结论。
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宿州学院毕业论文（设计） 2.灰色理论
2 灰色理论
1982年，华中理工大学的教授邓聚龙首先提出了灰色系统的概念，与此同时建立了灰色系统理论。灰色系统简言之就是部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统理论认为，凡是有些参数已知，有些参数未知的系统都是灰色系统，如：经济系统、社会系统、生态系统等都是灰色系统。灰色系统理论能更准确地描述这些系统的状态和行为，研究基于灰色系统理论的灰色预测模型，则对这些系统预测具有重要意义。灰色预测模型称为GM模型。GM(1,1)表示一阶的，一个变量的微分方程型的预测模型。GM(1,1)是一阶单序列的线性动态模型，主要用于时间序列预测。 灰色系统理论就是将随机观测量当成在一定范围内变化的灰色量，待数据变化为较有规律的生成数列之后，再建立相应模型。 2.1 GM(1,1)模型的建模过程
（0） 设非负离散数列为x?0??{x(0)(1),x（2）,?x(0)(n)}，n为序列长度（此序列一般
取等时距序列，当原始数据为非等时距序列，则可采用线性差值的方法来处理，从而保证模型有较高的滤波精度），对x(0)进行一次累加生成(1-AGO)，
x(i)??x(0)(m)?i?1,2,...,n? (2-1)
(1)m?1i有：
x(1)(1)?x(0)(1)x(1)(2)?x(0)(1)?x(0)(2)?x(1)(1)?x(0)(2)
x(1)(3)?x(0)(1)?x(0)(2)?x(0)(3)?x(2)?x??x(1)(n)?x(1)(n?1)?x(0)(n)(1)(0)(3) (2-2)
即可得到一个生成的序列：
1?x(1)?｛x(1)(1),x?（2）,?x(1)(n)｝ (2-3)
对生成的序列建立一阶微分方程：
dx(1)?ax(1)?u (2-4) dt（2-2）式中，u,a为待估计参数，分别称为内生控制灰数、发展灰数。
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?为待估计参数向量，则 a???? 设a根据最小二乘法求解，有：
?a??u???(BTB)?1BTyn a式中：
(0)(0) (2-5)
yn?[x(2),x(3),?,x(n)]
(0)T (2-6)
?1(1)?(1)1???(x(1)?x(2))?2?1??(x(1)(2)?x(1)(3))1? B??2?
?????1(1)?(1)??(x(n?1)?x(n))1??2? (2-7)
?代入（2-4）式，并对微分方程求解，得到GM（1，1）预测模将（2-5）式求得的a型为：
u?u??(1)(i?1)??x(0)(1)??e?ai? xa?a? (2-8)
2.2 GM（1，1）模型的精度检验
灰色预测模型的精度检验包括：残差检验、关联度检验和后验差检验。 2.2.1 残差的检验
残差的检验分为二种：一是相对误差，二是绝对误差。 检验步骤如下：
?(1)(i)。 第一步：求x?(1)(i?1)（i?0,1,2,3,4,5）通过公式（2-8）求得： x
?(1)?i?累减来还原从而求得x?(0)(i) 第二步：通过对x运算公式为：
??(0)(i)?x?(1)(i)?x?(1)(i?1)(i?1,2,3,?,n)?x ?(0) (1)??(1)?x?(1)?x第三步：计算出相对误差和绝对误差。
(2-9)
相对误差:?(0)(i)?[?(0)(i)/x(0)(i)]?100%(i?1,2,?,n)? ?
?(0)(i)(i?1,2,?,n)绝对误差:?(0)(i)?x(0)(i)?x? (2-10)
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2.2.2 关联度的检验 关联度的检验方法如下：
第一步：求原始的数列x(0)模型的计算值x?(0)。 第二步：计算x?(0)与x(0)的绝对值的误差??i? ?(i)?|x?(0)(i)?x（0）(i)|(i?1,2,?,n)
代入x?(0)(i)、x(0)(i)数据得： ?(i)?|x?(0)(i)?x(0)(i)| 第三步：计算出最大差与最小差
最大差为：Max{?(i)} 最小差为：Min{?(i)}
第四步：计算所得关联系数?(i)
?(i)?Min{?(i)}??Max{?(i)}?(i)??Max{?(i)}(i?1,2,?,n)
式中： ?(i)—是指第i个数据关联的系数
?—指选取的最大的差值的百分比，一般取值为50%，即??0.5 第五步：计算得到其关联度?
??1n n?1??(i)
i?1式中： ?——数列x(0)对x?(0)的关联度。 n——样本的个数。
2.2.3 后验差的检验 后验差的检验过程如下： （1）计算纯原始数据的均值x(0)
x(0)?1n?nx(0)(i) i?1
5 (2-11)
(2-12)
(2-13)
(2-14)
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（2）求出原始数据x(0)的均方差S0
S0? 式中：
S??[x(0)(i)?x(0)]2
20i?1nS02 n?1 (2-15)
(2-16)
（3）求残差?(0)的均值?(0)
?（4）计算出残差?的均方差S1
S1?（2-18）式中：
S??[?(0)(i)??(0)?i?]2
21i?1n(0)1n(0)???(i) ni?1 (2-17)
S12 n?1 (2-18)
(2-19)
（5）求出方差比c
c?（6）计算出小误差的概率p
p?{|?(0)(i)??(0)|?0.674?5S0} （7）作出检验
根据经验，一般精度等级的划分如表1。
表1 预测精度等级划分
模型精度等级 I级（好） II级（合格） III级（勉强） IV级（不合格）
P P≥0.95 0.80≤P＜0.95 0.70≤P＜0.80 P＜0.70
C C≤0.35 0.35＜C≤0.5 0.5＜C≤0.65 C＞0.65
S1 S0 (2-20)
(2-21)
通过以上检验，如果关联度?、小误差概率p、相关误差和方差比c都在允许范围内时，则可用所建立的模型进行预测，不然就需要采取残差的修正。
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