第二课时 函数的解析式及映射
知识点一：函数的解析式
1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为 A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1
2．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是
A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 3．(2010湖南宜章一中期中)如果常数项为0的二次函数f(x)的图象经过点M(1,5)，N(－1，－3)，那么这个函数的解析式为________．
2x，0≤x<1，??
4．函数f(x)＝?2，1≤x<2，
??3，x≥2
2
的值域是________．
知识点二：映射的概念
5．(2010山东师大附中学分认定考试)下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是
6．(2010湖南宜章一中期中)已知集合A到B的映射f：x→y＝3x＋2，那么集合A中元素2在集合B中对应的元素是
A．3 B．8 C．5 D．9 7．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有
①A中的任一元素在B中必须有象且唯一；②B中的多个元素可以在A中有相同的原象；③A中的多个元素可以在B中有相同的象；④B中的元素可以在A中无原象；⑤象的集合就是集合B.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是
11
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x 2311
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
46
能力点一：求函数的解析式
9．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为
A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0)
C．y＝
50100
(x＞0) D．y＝(x＞0) xx
10．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成
绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预定15张下表中球类比赛的门票： 比赛项目 男篮 足球 乒乓球 票价(元/场) 1 000 800 500 若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票数与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，则可以预订男篮门票数为
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若f(x)是一次函数，f[f(x)]＝4x－1且f(0)＜0，则f(x)＝__________.
12．如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的解析式．
13．(2010湖北黄冈中学期中)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式．
能力点二：抽象函数的解析式
1－x1－x2
14．已知f()＝，则f(x)的解析式为
1＋x1＋x2x2x2xxA. 2 B．－2 C.2 D．－1＋x1＋x1＋x1＋x2
1
15．已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈(0，＋∞)时，有f(x)＝，
x则当x∈(－∞，－2)时，f(x)的解析式为
1111A．－ B．－ C. D．－ xx－2x＋2x＋216.(2010辽宁实验中学期中)已知f(x－1)＝x＋2x，则f(x)＝________.
17．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x、y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．
能力点三：映射的判断与应用
18．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为
A．(－3,1) B．(1,3) C．(－1，－3) D．(3,1) 19．设f：x→x2(x∈Z)是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是 A．? B．?或{1} C．{1} D．{1，－1}
x＋yx－y
20．已知(x，y)在映射f：A→B下的象是(，)，则(3,1)的原象是
22
A．(4,1) B．(4,2) C．(3,2) D．(5,2)
21．设集合M＝{(x，y)|x，y∈R}，建立集合M到R的映射f：M→R，且f(x，y)＝|x＋y|，则2的原象在平面直角坐标系下所对应的点满足的关系是
A．x＋y＝2 B．x＋y＝－2 C．|x＋y|＝2 D．无法确定
22．已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{4,5,6}，映射f：A→B，且满足1的象是4，则这样的映射有
A．2个 B．4个 C．8个 D．9个 23．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为22 cm，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y与x的函数解析式．
答案与解析
基础巩固
1．D 设f(x)＝kx＋b，把点(1,0)和(0,1)代入可得k＝－1，b＝1，故f(x)＝－x＋1. 2．B ∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1.
3．f(x)＝x2＋4x 设二次函数f(x)＝ax2＋bx，把M(1,5)，N(－1，－3)代入可求得a＝1，b＝4.
4．[0,2]∪{3} 当0≤x＜1时，0≤2x2＜2，结合f(x)的解析式得f(x)∈[0,2]∪{3}． 5．D
6．B 把x＝2代入得y＝8.
7．C 由映射的定义可知①③④正确．
1
8．A 由f：x→y＝x，集合A中的元素6对应3{y|0≤y≤2}，故选项A不是映射．
2能力提升
x＋3x50
9．C 由·y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x＞0)．
2x
10．D 设足球门票数与乒乓球门票数都预定n(n∈N*)张，则男篮门票数为(15－2n)张，得
??800n＋500n＋1 000?15－2n?≤12 000，
? ?800n≤1 000?15－2n?，?
25解得4≤n≤5. 714
由n∈N*，可得n＝5,15－2n＝5.
2
??k＝4，12
11．2x－ 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝kx＋kb＋b＝4x－1，所以?
3??kb＋b＝－1.
1
又f(0)＝b＜0，解得k＝2，b＝－.
3
12．解：盒子的底是正方形，边长为a－2x，盒子的高为x，所以盒子的体积为V＝x(a
a
－2x)2(0＜x＜)．
2
13．解：设f(x)＝ax2＋bx＋1，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2ax＋a＋b，而f(x＋1)－f(x)＝2x，所以2ax＋a＋b＝2x.所以2a＝2，a＋b＝0，则a＝1，b＝－1.又由f(0)＝1，得c＝1.所以f(x)＝x2－x＋1.
1－x1－t
14．C 令＝t，则x＝，
1＋x1＋t1－t2
1－??
1＋t2t
f(t)＝＝. 1－t21＋t21＋??
1＋t
15．D 设x＜－2，则－x－2＞0，而图象关于x＝－1对称，得f(x)＝f(－x－2)＝1所以f(x)＝－.
x＋2
16．x2＋4x＋3(x≥－1) 令x－1＝t，则x＝t＋1(t≥－1)，得x＝(t＋1)2，代入原式得f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3(t≥－1)，故f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
17．解：因为对于x，y∈R有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 令x＝0得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)，所以f(－y)＝y2－y＋1. 所以f(y)＝y2＋y＋1(y∈R)．所以f(x)＝x2＋x＋1(x∈R)．
18．A x＝－1，y＝2，则x－y＝－3，x＋y＝1，所以(－1,2)对应(－3,1)． 19．B 由映射的概念可知A＝{1}或{－1}或{1，－1}，故A∩B＝?或{1}．
y
＝3，?x＋2
20．B 由?x－y
?2＝1，
1
，－x－2
解得x＝4，y＝2.故(3,1)的原象是(4,2)．
21．C 求2的原象满足的关系，说明2是象，故f(x，y)＝|x＋y|＝2，选C. 拓展探究
22．D 2和3的象可以分别为4和4；4和5；4和6；5和4；5和5；5和6；6和4；6和5；6和6，共9种．所以对应9个映射．
23．解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H，
因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm. 又BC＝7 cm，
所以AD＝GH＝3 cm.
1
(1)当点F在BG上，即x∈(0,2]时，y＝x2；
2
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝2＋(x－2)·2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S10.
所以函数解析式为
五边形ABFED
＝S
梯形ABCD
1
－SRt△CEF＝－(x－7)2＋
2
??
y＝?2x－2，x∈?2，5]，
1?－??x－7?＋10，x∈?5，7].
2
12
x，x∈?0，2]，2
2