练习1.1
1、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化： （1）a+b （2）x>0 （3）“请进！”
（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。 （5）我明天或后天去苏州。
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。 （7）我明天或后天去北京或天津。
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。 （10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 （13）不管你和他去不去，我去。 （14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》）
（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。（荀况：《荀子?劝学》）
解 （1）a+b 不是命题
（2）x>0 不是命题（x是变元）
（3）“请进！” 不是命题
（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。 是命题
可表示为p∧┐q，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死
（5）我明天或后天去苏州。 是命题
可表示为p∨q，其中p：我明天去苏州；q：我后天去苏州
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。 是命题 可表示为┐(p∨q)，其中p、q同（5）
（7）我明天或后天去北京或天津。 是命题
可表示为p∨q∨r∨s，其中p：我明天去北京，q：我明天去天津，r：我后天去北京，
s：我后天去天津
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。 是命题
可表示为┐p→┐q，其中，p：我买到飞机票，q：我出去 （9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。 是命题
可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r，其中p：他余款多，q：他出门，r：他买书
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。 是命题
可表示为(p∨q) ? r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：我去
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠
见解。 是命题
可表示为(p→q) ∧(q→p )或p ?q，其中p：你充分考虑了一切论证，q：你得到了可
靠见解
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 是命题 可表示为(q→p ) →┐q，其中p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图
（13）不管你和他去不去，我去。 是命题
可表示为(p→r) ∧(q→r) ∧( ┐p→r) ∧( ┐q→r)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） 是命题
可表示为((p∧q)→r) ∧((┐p∧┐q)→┐r)，其中p：你奢侈，q：你懒惰，r：你贫困
（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石
可镂。（荀况：《荀子?劝学》） 是命题
可表示为(p→┐q) ∧(s→r) ∧(m∧n→┐o) ∧(m∧┐n→v)，其中p：骐骥一跃，q：骐骥一跃十步，r：驽马行千里，s：驽马不断奔跑，m：你雕刻，n：你放弃，o：将朽木折断，v：金石可雕刻
2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）： （1）┐(p)（p为原子命题） （2）(p∨qr)→s （3）(p∨q)→p （4）p→(p∨q) （5）┐(p∨┐p) （6）p∧(p→q)→q
（7）p∧(p→q)∧(p→┐q) （8）(p→q) ? (┐q→┐p) （9）┐(p∨q) ?┐q∧┐p （10）┐p∨q? (p→q)
（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)
（12）(p∨q→r) ? (p→r)∧(q→r) 解 （1）┐(p) 不是公式
（2）(p∨qr)→s 不是公式
（3）(p∨q)→p 是公式 p∨q (p∨q)→p p→(p∨q) p q 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 （4）p→(p∨q) 是公式（真值表见上表，恒真）
（5）┐(p∨┐p) 是公式（恒假） ┐p p∨┐p ┐(p∨┐p) p 0 1 1 0 1 1 0 0
（6）p∧(p→q)→q 是公式（恒真） p→q p∧(p→q) p q 0 0 1 0 p∧(p→q)→q 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1
（7）p∧(p→q)∧(p→┐q) 是公式（恒假） p q ┐q p→q p∧(p→q) p→┐q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 p∧(p→q)∧(p→┐q) 0 0 0 0
（8）(p→q) ? (┐q→┐p) 是公式（恒真） p q ┐p ┐q p→q ┐q→┐p 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 (p→q) ? (┐q→┐p) 1 1 1 1
（9）┐(p∨q) ?┐q∧┐p 是公式（恒真） p∨q ┐(p∨q) p q ┐p ┐q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 ┐q∧┐p ┐(p∨q) ?┐q∧┐p 1 0 0 0 1 1 1 1
（10）┐p∨q? (p→q) 是公式（恒真） p→q ┐p∨q? (p→q) p q ┐p ┐p∨q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r) 是公式（恒真） p→q q→r p→r (p→q)∧(q→r) p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 (p→q)∧(q→r)→(p→r) 1 1 1 1 1 1 1 1
（12）(p∨q→r) ? (p→r)∧(q→r) 是公式（恒真） p∨q p∨q→r p→r p q r q(p→r)∧(p∨q→r) ? (p→→r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 (q→r) 1 1 0 1 0 1 0 1 r)∧(q→r) 1 1 1 1 1 1 1 1
*3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不是”。你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。
解 设p：你是说真话的；q：我应当向右走去首都 你应当问：p?q ? 当回答“是 (真)”，你选择向右走；当回答“不（假）”时，你选择向左走。因为 p?q真，当且仅当p真且q真（士兵说真话且应当向右走）
或p假且q假（士兵说假话且应当向左走）
p?q假，当且仅当p真且q假（士兵说真话且应当向左走）
或p假且q假（士兵说假话且应当向右走）
练习1.2
1、试判定以下各式是否为重言式： （1）(p→q)→(q→p) （2）┐p→(p→q) （3）q→(p→q) （4）p∧q→(p?q)
（5）(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q) （6）(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s)) 解 （1）否 （2）是 （3）是 （4）是 （5）否 （6）否
2、试用真值表验证E6，E8，E10，E11，E23。 证 （1）E6 (A∨B)∨C ?A∨(B∨C) B∨C A B C A∨B (A∨B)∨C 0 0 0 0 1 1 1 1
（2）E8
A∨(B∨C) 0 1 1 1 1 1 1 1 E6 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A∧(B∨C) ?(A∧B)∨(A∧C)
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 CB∨C 0 1 1 1 0 1 1 1 A∧(B∨C) 0 0 0 0 0 1 1 1 A∧B 0 0 0 0 0 0 1 1 A∧C 0 0 0 0 0 1 0 1 (A∧B)∨(A∧C) 0 0 0 0 0 1 1 1 E8 1 1 1 1 1 1 1 1
（3）E10 ┐(A∨B) ?┐A∧┐B A∨B ┐(A∨B) A B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 ┐A 1 1 0 0 ┐B 1 0 1 0 ┐A∧┐B 1 0 0 0 E10 1 1 1 1
（4）E11 ┐(A∧B) ?┐A∨┐B A B ┐A ┐B A∧B ┐(A∧B) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 ┐A∨┐B 1 1 1 0 E11 1 1 1 1
（5）E23 (A∧B→C) ? (A→(B→C)) B→C A B C A∧B A∧B→C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 A→(B→C) 1 1 1 1 1 1 0 1 E23 1 1 1 1 1 1 1 1
3、不用真值表，用代入、替换证明E12，E13，E24。 证 （1）E12： A∨(A∧B) ┝┥A
A∨(A∧B) ┝┥(A∧t)∨(A∧B) 据E17用RR ┝┥A∧ (t∨B) 对E8用RS ┝┥A∧t 据E16用RR ┝┥A 据E17