（2）E13： A∧(A∨B) ┝┥ A
A∧(A∨B) ┝┥(A∨f)∧(A∨B) 据E18用RR ┝┥A∨(f∧B) 对E9用RS ┝┥A∨f 据E19用RR ┝┥A 据E18
（3）E24： A→B ┝┥┐B→┐A
┐B→┐A┝┥┐┐B∨┐A 对E14用RS ┝┥B∨┐A 据E1用RR ┝┥┐A∨B 对E4用RS ┝┥ A→B 据E14
4、试用真值表验证I3，I4，I5，I6。 证 （1）I3 A∧(A→B)→B A→B A∧(A→B) A∧(A→B)→B A B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
（2）I4 (A→B) ∧┐B→┐A ┐B ┐A A B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 A→B 1 1 0 1 (A→B) ∧┐B 1 0 0 0 I4 1 1 1 1
（3）I5 ┐A∧(A∨B)→B ┐B∧(A∨B)→A ┐A A∨B ┐A∧(A∨B) A B 0 0 1 1
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 ┐B 1 0 1 0 A∨B 0 1 1 1 ┐B∧(A∨B) 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ┐A∧(A∨B)→B 1 1 1 1 ┐B∧(A∨B)→A 1 1 1 1
（4）I6 (A→B) ∧(B→C) →(A→C) A→B B→C A B C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 A→C 1 1 1 1 (A→B)∧(B→C) 1 1 0 1 I6 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
5、不用真值表，用代入、替换证明I7，I8。
证 （1）I7：(A→B)∧(C→D)┝ (A∧C)→(B∧D) (A→B)∧(C→D)┝┥(┐A∨B)∧(┐C∨D) (A∧C)→(B∧D)┝┥(┐A∨┐C)∨(B∧D)
┝┥(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D) 由于
(┐A∨B)∧(┐C∨D)┝ (┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D) 故(A→B)∧(C→D)┝ (A∧C)→(B∧D)。
（2）I8：(A?B)∧(B?C)┝ (A?C)
(A?B)∧(B?C)┝┥(A→B)∧(B→A)∧(B→C)∧(C→B)
┝┥((A→B)∧(B→C)) ∧ ((C→B)∧(B→A)) ┝ (A→C)) ∧ (C→A) ┝┥(A?C)
6、用三种不同方法证明下列逻辑等价式： （1）A?B┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B) （2）A→(B→C)┝┥B→(A→C) （3）A→(A→B)┝┥A→B
（4）A→(B→C)┝┥(A→B)→(A→C) 证 （1）证法1： (A∧B)∨(┐A∧┐A B A∧B ┐A ┐B ┐A∧┐B A?B 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 B) 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 证法2：A?B┝┥(A→B)∧(B→A) ┝┥(┐A∨B)∧(┐B∨A)
┝┥(┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A) ┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)
证法3：先证A?B┝ (A∧B)∨(┐A∧┐B) (a)
设?为任一指派，使?(A?B)=1，那么?(A)= ?(B)=1或?(A)= ?(B)=0，从而
?(A∧B)=1或?(┐A∧┐B)=1，即?((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。(a)得证； 再证(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝ A?B (b)
设?为任一指派，使?(A?B)=0，那么?(A)=1，?(B)=0，或者?(A)=0，?(B)=1，从而?(A∧B)=0且?(┐A∧┐B)=0，即?((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。(b)得证。
（2）证法1： B→C A→C A→(B→C) B→(A→C) A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 证法2：A→(B→C)┝┥┐A∨(┐B∨C) ┝┥(┐A∨┐B)∨C ┝┥(┐B∨┐A)∨C ┝┥┐B∨(┐A∨C) ┝┥B→(A→C)
证法3：先证A→(B→C)┝ B→(A→C) (a) 设?为任一指派，使?(A→(B→C))=1，那么 ⅰ） ?(A)= 0，则?( A→C)=1，从而?( B→(A→C))=1 ⅱ） ?(A)= 1，?(B)=0，则?( B→(A→C))=1 ⅲ） ?(A)=?(B)=?(C)=1，则?( B→(A→C))=1
综上，(a)得证；同理可证B→(A→C)┝ A→(B→C)。
（3）证法1： A→(A→B) (A→(A→B)) ? (A→B) A B A→B 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 证法2：A→(A→B)┝┥┐A∨(┐A∨B) ┝┥(┐A∨┐A)∨B ┝┥┐A∨B ┝┥A→B
证法3：先证A→(A→B)┝ A→B (a) 设?为任一指派，使?( A→B)=0，那么?(A)=1，?(B)=0，从而?( A→(A→B))=0。
(a)得证；
再证A→B┝ A→(A→B) (b)
设?为任一指派，使?(A→(A→B))=0，那么?(A)=1，?(A→B)=0。(b)得
证。
（4）证法1： A→B A→C A→(B→C) (A→B)→(A→C) A B C B→C 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 证法2：(A→B)→(A→C)┝┥┐(┐A∨B) ∨ (┐A∨C) ┝┥(A∧┐B) ∨ (┐A∨C) ┝┥( (A∧┐B)∨┐A)∨C
┝┥((A∨┐A)∧(┐B∨┐A) )∨C ┝┥(t∧(┐A∨┐B) )∨C ┝┥(┐A∨┐B)∨C ┝┥┐A∨(┐B∨C) ┝┥A→(B→C)
证法3：先证A→(B→C)┝ (A→B)→(A→C) (a)
设?为任一指派，使?((A→B)→(A→C))=0，那么?( A→B)=1，?( A→C)=0，
即?(A)= ?(B)=1，?(C)=0，从而?( B→C)=0，?( A→(B→C))=0。(a)得证； 再证(A→B)→(A→C)┝ A→(B→C) (b)
设?为任一指派，使?( A→(B→C))=0，那么?(A)=1，?(B→C)=0，即 ?(B)=1，?(C)=0，从而?(A→B)=1，?( A→C)=0，?((A→B)→(A→C))=0。(b)得证。
7、用三种不同方法证明下列逻辑蕴涵式： （1）A∧B┝ A?B （2）(A→B)→A┝ A
（3）A→B┝ ((A?B)→A)→B
（4）(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝ C 证 （1）证法1： A∧B (A∧B) → A B A?B 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 (A?B) 1 1 1 1 1 1 1 1 证法2：A∧B┝ (A∧B) ∨ (┐A∧┐B) ┝┥A?B
证法3：设?为任一指派，使?(A∧B)=1，则?(A)= ?(B)=1，从而?( A?B)=1。A
∧B┝ A?B得证。
（2）证法1： ((A→B)→A) A B A→B (A→B)→A → A 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 证法2：(A→B)→A┝┥ ┐(┐A∨B) ∨ A ┝┥ (A∧┐B) ∨ A ┝┥ (A∨ A)∧(┐B∨A) ┝┥ A∧(┐B∨A) ┝ A
证法3：设?为任一指派，使?(A)=0，则?(A→B)= 1，从而?((A→B)→A)=0。(A
→B)→A┝ A得证。
（3）证法1： (A→B)→A B A→B A?B (A?B)→A ((A?B)→A)→B (((A?B)→A)→B) 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 证法2：A→B┝┥┐A∨B ((A?B)→A)→B┝┥┐((A?B)→A)∨B ┝┥((A?B) ∧┐A)∨B
┝┥(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧┐A)∨B ┝┥(┐A∧┐B)∨B ┝┥┐A∨B ∴ A→B┝ ((A?B)→A)→B
证法3：设?为任一指派，使?( A→B)=1，则（ⅰ）?(A)= 0；（ⅱ）?(B)= 1。对
（ⅱ）显然有?( ((A?B)→A)→B)=1；
对（ⅰ）则可令?(B)= 0（?(B)= 1的情况已证），于是?(A?B)=1，?((A?B)→A)=0，?(((A?B)→A)→B) =1。
A→B┝ ((A?B)→A)→B得证。
（4）证法1： A∨B A→C B→C (A∨B)∧(A→C)((A∨B)∧(A→C)∧A B C ∧(B→C) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 (B→C))→C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 证法2：(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝┥(A∨B)∧(┐A∨C)∧(┐B∨C) ┝┥(A∨B∨C)∧(A∨B∨┐C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)∧(A
∨┐B∨C)
┝ (A∨B∨C)∧(A∨┐B∨C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C) ┝┥(A∨C) ∧(┐A∨C) ┝┥C
证法3：设?为任一指派，使?((A∨B)∧(A→C)∧(B→C))=1，则?(A∨B)= ?( A→C)= ?( B
→C)=1。由?(A∨B)=1有两种情况： （ⅰ）?(A)=1，由?( A→C)=1得?(C)=1； （ⅱ）?(B)= 1，由?( B→C)=1得?(C)=1。 (A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝ C得证。
△8、验证下列逻辑等价式和逻辑蕴涵式，并写出它们的对偶式： （1）┐(┐A∨┐B)∨┐(┐A∨B)┝┥A
（2）(A∨┐B)∧(A∨B)∧(┐A∨┐B)┝┥┐(┐A∨B) （3）B∨┐((┐A∨B)∧A)┝┥t
（4）┐A∨(┐B∨C)┝ ┐(┐A∧B)∨(┐A∨C)
（5）┐(A∨B)∨C┝ A∨(┐B∨C)
解 （1）┐(┐A∨┐B)∨┐(┐A∨B)┝┥(A∧B)∨(A∧┐B)