由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 8 272 40 814 17 8117814081
827
P 84017148
随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×＋2×＋4×＝
27818181 ks5u
(20) 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时
考查空间想象能力和运算求解能力。满分14分。 方法一：
(Ⅰ) 证明：如图以点C为原点建立 空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA
?????????E?CB＝1，CB＝t（t >0），Pz P E ，则
N M B y
C(0,0,0)P(12,0,， A(1,0,0)，B(0,t,0)，
3)2，E(,?t,2132)．
C 由
AMAE1212?ANAP??，得
32A x （第20题） M(1??,??t,?)，
?????N(1??,0,32?)，MN?(0,???t,0)．ks5u
????????，故n0?MN???n0????????=(0，0，1) 是平面ABC的一个法向量，且n0?MN?0．
又因为MN?平面ABC，即知MN∥平面ABC． ????6分
(Ⅱ) 解：MN?(0,???t,0)，CM?(1???????????12???????????????????量n1?(x1,y1,z1)，则n1?MN?0，n1?CM?0?,??t,???又n0?)，设平面CMN2?????2)， ，可取n1?(1,0,3?3的法向
??????|n0?n1|????由|cos?|???|n0|?|n1|=(0，0，1) 是平面ABC的一个法向量．ks5u
，以及??45?可得
|??23?3?|2?22，即2?2?4??4?0．解得??3?1（将???1?3舍去），
1?(??2)2故??方法二：
3?1． ks5u ????14分
ANAP(Ⅰ) 证明：由
AMAE???，得MN∥PE，
又依题意PE∥BC，所以MN∥BC． 因为MN?平面ABC，BC?平面ABC， 所以MN//平面ABC． ????6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N 共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角 即N—CB—A．因为平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC ∩ 平面ABC = AC，且CB⊥AC，所
以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知?NCA为二面角N—CB—A的平面角．所以?NCA?45?．在△NCA中运用正弦定理得，
2ANAC?sin45?sin75??26?42?3?1．ks5u
P
E
N
M B
C A （第20题）
所以，??ANAP?3?1． ????14分
(21) 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几
何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)解：设c2?a2?b2，依题意c?1，方程为
x2ca?22．解得a?2，b?1．故椭圆G的
2?y?12． ????5分
(Ⅱ)存在常数???1．
?x2?y?1?解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)．联立?2?y?k(x?1)?2，可得
(1?2k)x?4kx?2(k?1)?02222
2于是 x1?x2?24k221?2k,x1x2?2(k?1)21?2k．
直线AM
?x2?y?1y1?的斜率t1?，联立?2x1?2?y?t(x?2)1?222，可得
2(1?2t1)x?8t1x?2(4t1?1)?0
y1x1?2则x1x3?2(4t1?1)1?2t1y1x1?2y1x1?222，进一步可得x3?22(4t1?1)(1?2t1)x1222．将t1?x1222代入，则
22[4(x3?)?1]?)]x122[4y1?(x1?2)][2y1?(x1?2)]x12222[4(1??[2(1?x12)?(x1?2)]?23x1?42x1?3
[1?2()?(x1?2)]x1同理可得x4?3x2?42x2?3．进一步，可计算y3,y4．其中
y1x1?2?(x3?2)?k(x1?1)x1?22y3?t1(x3?2)??(3x1?42x1?3?2)??k(x1?1)2x1?3
同理可得y4??k(x2?1)2x2?3．由
x322?y3?1,2x42?y4?1两式相减可得，
2k1?y3?y4x3?x412k12k12k??x3?x42(y3?y4)?12k(?(3x1?42x1?3x1?12x1?3??3x2?42x2?3x2?12x2?3))??(3x1?4)(2x2?3)?(3x2?4)(2x1?3)(x1?1)(2x2?3)?(x2?1)(2x1?3)12x1x2?17(x1?x2)?244x1x2?5(x1?x2)?612?2(k22222＝?
???1)?17?4k?1)?5?4k?24?(1?2k)?6?(1?2k)24?2(k??k综上可知，存在常数???1． ????15分
(22) 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理
论证能力、抽象概括等综合解题能力和创新意识。满分15分。 (Ⅰ)解：函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?1x?x?(a?2)?x?(a?2)x?1x2．
依题意，方程x2?(a?2)x?1?0有两个不等的正根m，n（其中m?n）．故
?(a?2)?4?0?a?0?a?2?0?2，ks5u
并且 m?n?a?2,mn?1． 所以，f(m)?f(n)?lnmn??12212(m?n)?(a?2)(m?n)12222
[(m?n)?2mn]?(a?2)(m?n)??(a?2)?1??3
故f(m)?f(n)的取值范围是(??,?3)． ????6分
1e2(Ⅱ)解:当a?e??2时，(a?2)?e?221e?2．若设t?1enm(t?1)，则
(a?2)?(m?n)?2(m?n)mn?t?1t?2?e??2．
于是有 t?f(n)?f(m)?lnnmn1t121?e?21e2?(t?e)(1?1te)?0?t?enm12
22?(n?m)?(a?2)(n?m)?ln22?(n?m)?(n?m)(n?m)
1n?mn1nm?ln?(n?m)?ln?()?ln?(?)m2m2mnm2mn?lnt?11(t?)2t12(t?)t1n22
构造函数g(t)?lnt?（其中t?e），则g?(t)?e2?1t?12(1?1t2)??(t?1)2t22?0．
所以g(t)在[e,??)上单调递减，g(t)?g(e)?1? 故f(n)?f(m)的最大值是1?
e2?12e12e．
． ????15分