【典型例题】 例1. （2008年陕西）已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE． 分析：已知条件中具备AC＝CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由AC∥DE得∠E＝∠ACB，∠D＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠B，所以∠D＝∠B．得到两个三角形全等的条件。 解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E． 又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D． 在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE． 评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导∠D＝∠ACD，∠E＝∠ACE．解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。 例2. （2008年浙江衢州）如图，AB∥CD （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）． 分析：根据角平分线的作法，分三步得到∠C的平分线．对于补充条件使△ACF≌△AEF，由于已具备公共边AF＝AF，∠ACF＝∠AEF，根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可． 解：（1）作图略（2）AF⊥CE，∠AFC＝∠AFB，∠CAF＝∠BAF（选一个即可） 评析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，结合图形探索全等所需条件是解题关键． 例3. 如图所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，已知△ABE≌△ADF． （1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置． （2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．
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分析：根据平移、翻折、旋转的特点△ABE经过旋转变到△ADF的位置，因为平移后对应边平行，翻折后有一组对应边在同一直线上．讨论BE与DF的关系要考虑它们之间的数量关系和位置关系，根据全等易得BE＝DF．对应位置关系，需要延长BE交DF于G，观察证明∠DGB＝90°． 解：（1）图中通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置． （2）延长BE交DF于G， ∵△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF． 又∠AEB＝∠DEG， ∴∠DGB＝∠DAB＝90°． ∴BE⊥DF． 评析：本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解；合理猜想、探索、推理、论证能力也在考查之中． 例4. （2008年河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明． 分析：首先由旋转的特点得AQ＝AP，又由∠QAP＝∠BAC，结合图形，利用角的差得∠QAB＝∠PAC，又AB＝AC，得△AQB≌△APC，从而BQ＝CP．而点P在△ABC外部时，与点P在△ABC内部时基本相同，只是在证 2
∠QAB＝∠PAC时利用角的和而不是差． 解：∵∠QAP＝∠BAC， ∴∠QAP＋∠PAB＝∠BAC＋∠PAB，即∠QAB＝∠PAC． 在△QAB和△PAC中，， ∴△QAB≌△PAC，∴BQ＝CP． 评析：分析已知条件，观察图形，培养“直觉”图形的意识，确认边、角之间的关系，尽快地找到解题的突破口． 例5. 如图所示，已知△ABC中，a＝5cm，b＝4cm，c＝3cm，∠B＝53°，∠C＝37°，请你从中选择适当的数据画一个三角形，使之与△ABC全等，把你所能画的三角形全部画出来，不写画法，并在所画出的三角形中标出你选用到的数据，并说明符合条件的三角形可有多少种不同的画法？ 分析：利用SSS、AAS等方法画三角形与已知△ABC全等时，同学们不够熟练，为此不妨利用三角形内角和为180°，从而可知∠A＝90°，在具体画图时可先画出∠A＝90°后仍选用SSS、AAS等方案画图为宜，即在所画出的图形中仍只标明∠B、∠C的度数即可． 解：要画出与△ABC全等的三角形，可由题设中所给出的五个数据中任选三个得十种不同的画法，其中有四种画法不符合SAS、SSS、ASA、AAS，故有六种画法符合要求． （1）利用“SSS”，即a＝5cm，b＝4cm，c＝3cm； （2）利用“SAS”，即a＝5cm，c＝3cm，∠B＝53°； （3）利用“SAS”，即a＝5cm，b＝4cm，∠C＝37°； （4）利用“AAS”，即c＝3cm，∠B＝53°，∠C＝37°；
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（5）利用“AAS”，即b＝4cm，∠B＝53°，∠C＝37°； （6）利用“ASA”，即∠B＝53°，a＝5cm，∠C＝37°． 评析：当题目要求在所给条件中选择进行作图时，可利用分类的思想进行讨论来作，因此其作图具有开放性．这就要求思考问题要周密，分类要准确，做到不重不漏． 【方法总结】 1. 在探索三角形全等方法的时候，利用了一个非常重要的数学思想，就是分类讨论思想．在讨论问题时，我们常常用分类的方法，分类要有标准，标准不同，分类的结果也不同．在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不丢，不漏，不交叉． 2. 全等三角形的几种识别方法都是采用直观感知，操作确认的方式得到的，这是数学发现的一种重要方法，就是由特殊事例推出一般结论的方法，在学习中，同学们要体会这种方法的运用． 3. 转化思想是数学中常见的一种思想方法，解题时运用转化思想，可将未知问题转化为已知问题，化复杂为简单． 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 选择题 1. 下列条件，不能使两三角形全等的是（ ） A. 两边一角对应相等 B. 两角及其中一角的对边对应相等 C. 三边对应相等 D. 两边及其夹角对应相等 2. 如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于E，则图中全等三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 3. （2008年成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ） A. ∠B＝∠E，BC＝EF B. BC＝EF，AC＝DF
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C. ∠A＝∠D，∠B＝∠E D. ∠A＝∠D，BC＝EF 4. 如图所示，AB＝AC，AE＝AD，则①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③点O在∠BAC的平分线上．以上结论（ ） A. 都正确 B. 都不正确 C. 只有一个正确 D. 只有一个不正确 5. 如图所示，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A、B间的距离，可延长AO至点C，使CO＝AO，延长BO至点D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可得A、B间的距离，其全等的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 6. 如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 二. 填空题 7. 已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝31°，ED＝10，则∠F＝__________，AB＝__________． 8. 如图所示，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，若△ABD≌△ACE，则∠B＝__________，∠BAD＝__________，∠ADB＝__________，AB＝__________，AD＝__________，BD＝__________，如果△BEO≌△CDO，那么∠BOE＝__________，DO＝__________． 9. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积是18cm，则EF边上的高是__________cm． 2 5