见表1中非基变量x24所在的闭回路，调整量为ε = min{3,1} = 1。调整过程见表2： 销地 B1 B2 B3 B4 产地 3 11 3 10 A1 4+1 3-1 1 9 2 8 A2 3 1-1 0+1 A3 7 6 4 10 5 3 销地 B1 B2 B3 B4 产地 3 11 3 10 5 2 1 9 2 8 A2 3 1 A3 7 4 10 5 6 3 由于非基变量的检验系数都大于等于零，因此该方案是最优方案，最优解为： x13 = 5，x14 = 2，x21 = 3，x24 = 1，x32 = 6，x34 = 3，总运费为： 34 maxZ?cijxij?5?3?2?10?3?1?1?8?6?4?3?5?85 i?1j?13、用小元素法求下面运输问题（见表）的初始可行解，检验解的最优性，如果不是最优解，改进成最优解。 销地 B1 B2 B3 B4 产量 产地 A1 3 7 6 4 50 A2 2 4 3 3 20 A3 8 3 8 9 30 A1 ??销量 40 20 15 25 100 100 产量 50 20 30 行位势 u1 解：先用最小元素法求解。 销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 × × 20 20 6 3 8 B3 5 × 10 15 B4 4 25 4 3 9 B4 25 × × 25 产量 50 3 2 8 20 20 × 40 7 4 3 用位势法对基可行解进行最优性检验。 销地 B1 B2 B3 产地 A1 20 5 3 7 6 A2 A3 2 8 20 4 3 20 3 8 10 3 9 20 30 u2 u3 40 20 15 25 销量 v1 v2 v3 v4 列位势 取u1=0，解上述方程组得u1=0，u2=－1，u3=2，v1=3，v2=1，v3=6，v4=4 各非基变量的检验数为
σ12 =c12－（u1+v2）=7－（0+1）= 4>0 σ22 =c22－（u2+v2）=4－（－1+1）= 2>0 σ23 =c23－（u2+v3）=3－（－1+6）= －2<0 σ24 =c24－（u2+v4）=3－（－1+4）= 0 σ31 =c31－（u3+v1）=8－（2+3）= 3>0 σ34 =c34－（u3+v4）=9－（2+4）= 3>0
由于σ23 =－2<0，故表中基可行解不是最优解，并以x23为第一个顶点作闭回路，如下 销地 B1 B2 B3 B4 产量 产地 20 5 A1 25 50 3 7 6 4 A2 20 x23 20 2 4 3 3 A3 20 10 30 8 3 8 9 40 20 15 25 销量 该闭回路上，偶数顶点上的基变量最小值为5，以该调整量进行调整得到如表 销地 B1 B2 B3 B4 产量 产地 A1 25 25 50 3 7 6 4 A2 15 5 20 2 4 3 3 A3 20 10 30 8 3 8 9 销量 40 20 15 25 4、用最小元素法给出运输问题的初始可行解，检验解的最优性，如果不是
最优解，改进成最优解。
A B C 甲 10 16 5 乙 6 10 4 丙 7 5 10 丁 12 9 10 产量 4 9 4 销量 解：
用最小元素法求得初始解：
A B C 销量 甲 3 2 5 乙 2 2 丙 4 4 丁 1 5 6 产量 4 9 4 5 2 4 6 用位势法计算u和v：
A B C vj 甲 (10) (5) 10 乙 (4) 9 丙 (5) 8 丁 (12) (9) 12 ui 0 -3 -5 计算非基本变量的检验数：
A B C vj 甲 9(16) 10 乙 -3(6) 4(10) 9 丙 -1(7) 7(10) 8 丁 3(10) 12 ui 0 -3 -5 以(A乙)作为调入格，用闭回路调整法计算(A乙)的新运量：
A B C 销量 甲 1 4 5 乙 2 2 丙 4 4 丁 1 5 6 产量 4 9 4 用位势法计算非基变量的检验数：
甲 乙 丙 丁 ui A B C vj (10) 9(16) (5) 10 (6) 7(10) 3(4) 6 -1(7) (5) 7(10) 8 (12) (9) 3(10) 12 0 -3 -5 以(A丙)作为调入格，用闭回路调整法计算(A丙)的新运量：
A B C 销量 甲 1 4 5 乙 2 2 丙 1 3 4 丁 6 6 产量 4 9 4 用位势法计算非基变量的检验数：
A B C vj 甲 8(16) 10 乙 6(10) 3(4) 6 丙 8(10) 7 丁 1(12) 4(10) 11 ui 0 -2 -5 所有非基变量检验均为正数，故已得到最优解，运输成本最小值为118.
5、用Vogel法求出初始解，检验解的最优性，如果不是最优解，改进成最优解。
A B C 销量 解：
A B 甲 10 16 5 5 乙 6 10 4 2 丙 7 5 10 4 丁 12 9 10 6 产量 4 9 4 甲 1 乙 2 丙 1 3 丁 6 产量 4 9 C 销量 4 5 2 4 6 4 用位势法计算u和v：
A B C vj 甲 (10) (5) 10 乙 (6) 6 丙 (7) (5) 7 丁 (9) 11 ui 0 -2 -5 非基变量检验数为：
A B C vj 甲 8(16) 10 乙 6(10) 3(4) 6 丙 8(10) 7 丁 1(12) 4(10) 11 ui 0 -2 -5 所有非基变量检验均为正数，故已得到最优解，运输成本最小值为118.
6、用Vogel法求出初始解，检验解的最优性，如果不是最优解，改进成最优解。
A B C 销量 甲 3 2 4 3 乙 7 4 3 3 丙 6 3 8 2 丁 4 2 5 2 产量 5 2 3 解：先用Vogel法求得初始解：
A B C 甲 3 0 乙 3 丙 2 丁 2 0 产量 5 2 3