第7讲 解三角形应用举例
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________． ①北偏东10°；②北偏西10°；③南偏东10°；④南偏西10° 解析 灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. 答案 ②
2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面
上前进900 m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进3003 m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为________m.
解析 如图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α， AD＝3003 m，由正弦定理，得 9003003sin 4α＝sin 2α， 3
解得cos 2α＝2， 13
则sin 2α＝2，sin 4α＝2，
3
所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝3003sin 4α＝3003×2＝450(m)．
答案 450
3．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．
解析 由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理，
1
得
ABAC2AC
＝，即sin 45°＝sin 60°，解得AC＝6(千米)．
sin∠ACBsin∠CBA
6
答案
4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是________m.
解析 由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．
答案 500
5．(2014·广州调研)如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝________m.
解析 由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.
由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.425231＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝16，所以sin α＝16，所以tan sin α231α＝cos α＝5. 答案
2315
6．(2013·哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．
2
解析 依题意可得AD＝2010 m，AC＝305 m，又CD＝50 m，所以在△ACD
中，由余弦定理，得
AC2＋AD2－CD2
cos∠CAD＝＝
2AC·AD
?305?2＋?2010?2－5026 0002
＝＝2，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝
2×305×20106 000245°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案 45°
7．(2013·杭州一中测试)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82 n mile.此船的航速是________ n mile/h.
解析 设航速为v n mile/h，
1
在△ABS中，AB＝2v，BS＝82 n mile， ∠BSA＝45°，
1
2v82
由正弦定理，得sin 30°＝sin 45°，∴v＝32 n mile/h. 答案 32
8．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m. 解析 过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝
ADsin∠ADB
sin∠ABD
3
1 000sin 150°
＝sin 15°＝500(6＋2)(m)．
所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(3＋1)(m)．
答案 500(3＋1) 二、解答题
9．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
解 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β， 由正弦定理得所以BC＝
BCCD
＝，
sin∠BDCsin∠CBD
CDsin∠BDCs·sin β
＝，
sin∠CBDsin?α＋β?
stan θsin β
.
sin?α＋β?
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝
10．(2014·石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
?5333??参考数据：sin 38°＝14，sin 22°＝14? ??
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5 x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5 x＝7，解得x＝14.
4
35×2
AC·sin∠BAC53
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝
BC714， 所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________．
解析 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案 50
2．如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为________m. 解析 在△ACE中，
CM－10CECM－10
tan 30°＝AE＝AE.∴AE＝tan 30°(m)． DECM＋10在△AED中，tan 45°＝AE＝AE， CM＋10CM－10CM＋10∴AE＝tan 45°(m)，∴tan 30°＝tan 45°， 10?3＋1?
∴CM＝＝10(2＋3)
3－1答案 20＋103
3．如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条
5