学科：数学
教学内容：最大公约数
呈现目标
【知识要点归纳】
1.公约数、最大公约数和互质数的意义
（1）公约数的意义。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。如：12和18的公约数有：1、2、3、6。
（2）最大公约数的意义。几个数的公约数中最大的一个，叫这几个数的最大公约数。如：12和18的最大公约数是6。
（3）互质数的意义。公约数只有1的两个数，叫做互质数。如：3和8是互质数，15和16也是互质数。
①成为互质数的两个数，不限定必须是质数。
②质数和互质数的意义不同。质数是就一个数说的，互质数是就两个数的关系说的。 2.求两个数的最大公约数的方法
（1）用短除法求两个数的最大公约数。一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。如：
18和30的最大公约数是2×3=6。
在除的时候，除数也可以是合数。如：
36和54的最大公约数是6×3=9×2=18。
（2）求两个数的最大公约数的两种特殊情况。
①如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如： 15和45的最大公约数是15。
②如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。如： 8和15的最大公约数是1。
名师点拨
【典型范例剖析】
例1 有 两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：这里求每小段最长是多少米，就是求12和18的最大公约数。
答：每小段最长6米，一共可以截2＋3＝5段。
例2 用一个数去除39和33，都正好余3，这个数最大是几？
分析：根据题目的条件，要求的这个数不能整除39和33，但如果把39和33都减少3，则能同时被这个数整除，要求这个数最大是几，就是求减少3后的两个数的最大公约数。
解：39-3＝36 33-3＝30
1
36和30的最大公约数是2×3=6。 答：这个数最大是6。
【解题技巧指点】
1.求几个数的最大公约数时，要正确地理解和运用“最大公约数乘半边”这一规律，即求最大公约数时，要把所有的除数都乘起来。
2.用短除法求两个数的公约数时，不一定要用最小的质数去除，也可以用较大的合数甚至是最大的公约数去除。
3.用短除法求两个数的最大公约数时，最后的两个商一定要是互质数，否则，求得的结果就不是最大公约数。
【课本难题解答】 练习十四第12题
分析：根据“能被2整除，又有约数5”可知这个三位数的个位数是0。从“百位上的数是最小的质数”得出百位上的数是2。从“十位上的数是百位上的数的倍数”可知，十位上的数可能是2、4、6、8。
解：这个三位数可能是220、240、260和280。 练习十四第13题
分析：根据已知条件，每根小棒的长度必须能整除12、44和56，否则就会有剩余。因为要求的小棒要最长，所以就要求12、44和56的最大公约数。
12、44和56的最大公约数是4。 (答案：4厘米) 练习十四思考题(1)
分析：将1001分解质因数，可得到三个质数。 解：1001＝7×11×13，这三个质数是7、11、13。 练习十四思考题(2)
分析：切成的小正方体的棱长是45、50、70的最大公约数。
解：45、50、70的最大公约数是5，切成的立方体棱长最大是5厘米。
能力拓展
【发散思维导训】
导1 A除24和44，结果都余4，A最大是多少？
分析：A能整除24-4和44-4，即A是24-4和44-4的最大公约数。
解：24-4＝20，44-4=40，20和40的最大公约数是20，所以A最大为20。
导2 A、B、C三个数，A、B的最大公约数是18，B、C的最大公约数是15，A、B、C的最大公约数是多少？
分析：显然，求A、B、C的最大公约数就是求18、15的最大公约数。 解：因为18、5的最大公约数是3，所以A、B、C的最大公约数是3。 训1 甲数是乙数的3倍，甲、乙的和是96，求甲、乙的最大公约数。
训2 一个长方形，长0.8米，宽20分米。现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能长，并且长方形的长、宽没有剩余，可以分多少个正方形？
训3 三张数字卡片1 2 3，从中任意抽2张组成两位数，去掉质数，还剩几个数？剩下的数中哪个数与3是互质数？
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【作业优化设计】 1.填空。
（1）甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公约数是( )。 （2）36和60相同的质因数有（ ），它们的积是（ ），也就是36和60的( )。 （3）（ ）的两个数，叫做互质数。
（4）自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是( )。 （5）按要求，使填出的两个数成为互质数。 ①质数( )和合数( )， ②质数( )和质数( )， ③合数( )和合数( )， ④奇数( )和奇数( )， ⑤奇数( )和偶数( )，
（6）两个数为互质数，这两个数的最大公约数是( )。 （7）所有自然数的公约数为( )。
（8）18和24的公约数有( )，18和24的最大公约数是( )。 2.判断。(对的打“√”，错的打“×”) （1）互质数是没有公约数的两个数。( ) （2）成为互质数的两个数，一定是质数。( )
（3）只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数。( ) （4）两个自然数分别除以它们的最大公约数，商是互质数。( ) （5）因为15÷3＝5，所以15和3的最大公约数是5。( ) （6）30、15和5的最大公约数是30。( )
（7）最小的合数和最小的质数这两个数不是互质数。( ) （8）相邻的两个自然数一定是互质数。( ) 3.选择题。
（1）成为互质数的两个数( )。
①没有公约数 ②只有公约数1 ③两个数都是质数 ④都是质因数 （2）下列各数中与18互质的数是( )。
①21 ②40 ③25 ④18 （3）下列各组数中，两个数互质的是( )。
①17和51 ②52和91 ③24和25 ④11和22
（4）甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公约数的质因数里应该( )。
①有1个7 ②没有7 ③不能确定
（5）甲乙两数的最大公约数是 7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公约数( )。 ①肯定是7 ②肯定不是7 ③不能肯定 4.直接说出下列各组数的最大公约数。 （1）8与9的最大公约数是( )。
（2）48、12和16的最大公约数是( )。 （3）6、30和45的最大公约数是( )。 （4）150和25的最大公约数是( ) 5.用短除法求下列各组数的最大公约数。
(1)56和42 (2)225和15 (3)84和105
（4）54、72和90 （5）60、90和120
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6.应用题
有36个球，分装在13个盒子里，每个盒子只装单数，不准装双数。你能办到吗？为什么？
快乐大本营
在下面方框里填上合适的数字。
参考答案
1.（1）6 （2）2 2 3，12 最大公约数 （3）只有公约数1 （4）b （5）①5和4 ②2和3 ③8和9 ④7和9 ⑤3和4 （6）1 （7）1 （8）1 2 3 6，6
2.（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）× （7）√ 3.（1）② （2）③ （3）③ （4）② （5）① 4.（1）1 （2）4 （3）3 （4）25
6.无法办到。因为有13个盒子，每个盒子都装单数，13个奇数的和还是奇数，当球的个数是奇数时可以办到。
快乐大本营 3 7 6 × 8 5
1 8 8 0 3 0 0 8 3 1 9 6 0
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