课时作业51 空间角的求法
1．(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
解：(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴
AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以BE―→，BD―→，BA―→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，
A(0，0，1)，M(0，，)，
11则BC―→＝(1，1，0)，BM―→＝(0，，)，AD―→＝(0，1，－1)．
22设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，
??→＝0，??n·BC―?则即?1 1?n·BM―→＝0，?y0＋z0＝0，?
11
22
x0＋y0＝0，
2
?2
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)． 设直线AD与平面MBC所成角为θ，
1
则sinθ＝|cosn，AD―→|＝错误!＝错误!，
6
. 3
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为2．(2015·广东卷)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，
CG＝2GB.
(1)证明：PE⊥FG；
(2)求二面角P－AD－C的正切值； (3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值． 解：(1)证明：∵PD＝PC，E为DC的中点， ∴PE⊥DC.
又∵平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD， ∴PE⊥平面ABCD. 又∵FG?平面ABCD， ∴PE⊥FG.
(2)取AB中点H，连接EH，由(1)知PE⊥DC，PE⊥EH，由于四边形ABCD为矩形， 所以HE⊥DC，
故以EH、EC、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
故由PD＝4，AB＝CD＝6得EP＝7，即P(0，0，7)，D(0，－3，0)，A(3，－3，0)，
PD―→＝(0，－3，－7)，PA―→＝(3，－3，－7)．
设平面PAD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
?→＝0，?－3y－7z＝0，?m·PD―
则?即? ?m·PA―→＝0，?3x－3y－7z＝0，?
?x＝0，解得?
?3y＝－7z.
令z＝3，则m＝(0，－7，3)．
而平面ABCD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角P－AD－C的平面角为θ，由图知θ为锐角，
2
|m·n|37
所以cosθ＝＝，∴tanθ＝.
|m|·|n|43
(3)由(2)知PA―→＝(3，－3，－7)，G(2，3，0)，F(3，1，0)， 所以GF―→＝(1，－2，0)． 设异面直线PA与FG所成角为α， 则cosα＝?＝
→??PA―→·GF―
?
→|·|GF―→|??|PA―
3×1＋（－3）×（－2）95
＝. 255×5
3．(2015·浙江卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，
A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值． 解：
(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥
AE.
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
A1E∩BC＝E且A1E，BC?平面A1BC，
故AE⊥平面A1BC.
由D，E分别为B1C1，BC的中点，得
DE∥B1B且DE＝B1B，
从而DE∥A1A且DE＝A1A， 所以A1AED为平行四边形． 故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.
3
(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB，EA1为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：A1(0，0，14)，B(0，2，0)，D(－2，0，14)，B1(－2，2，14)．
因为A1B―→＝(0，2，－14)，BD―→＝(－2，－2，14)，DB1―→＝(0，2，0)．
设平面A1BD的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的一个法向量为n＝(x2，y2，
z2)．
由?
?2y1－14z1＝0，
即?
?m·BD―→＝0，??－2x1－2y1＋14z1＝0，
?m·A1B―→＝0，?
可取m＝(0，7，1)． 由?
?2y2＝0，
即?
?n·BD―→＝0，??－2x2－2y2＋14z2＝0，
?n·DB1―→＝0，?
可取n＝(7，0，1)．
|m·n|1于是|cos〈m，n〉|＝＝.
|m|·|n|8由题意可知，所求二面角的平面角是钝角， 1
故二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值为－.
8
1．(2015·天津卷)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，
AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD； (2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；
1
(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成的角的正弦值为，求线段A1E的
3
4
长．
解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，
C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，－2，2)．
?1?又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M?1，，1?，N(1，－2，1)． ?2?
5??(1)证明：依题意，可得n＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量．MN―→＝?0，－，0?. 2??由此可得MN―→·n＝0，
又因为直线MN?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. (2)AD1―→＝(1，－2，2)，AC―→＝(2，0，0)． 设n1＝(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，
?→＝0，??n1·AD1―?x1－2y1＋2z1＝0，
则?即? ?n1·AC―?2x1＝0.→＝0，??
不妨设z1＝1，可得n1＝(0，1，1)． 设n2＝(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量， 则?
?n2·AB1―→＝0，?
?→＝0，?n2·AC―
??y2＋2z2＝0，又AB1―→＝(0，1，2)，得?
?2x2＝0.?
不妨设z2＝1，可得n2＝(0，－2，1)． 因此有cos〈n1，n2〉＝
n1·n210
＝－，
|n1|·|n2|10
310
于是sin〈n1，n2〉＝. 10
310
所以，二面角D1－AC－B1的正弦值为.
10
(3)依题意，可设A1E―→＝λA1B1―→，其中λ∈[0，1]， 则E(0，λ，2)，从而NE―→＝(－1，λ＋2，1)． 又n＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，
NE―→·n得cos〈NE―→·n〉＝ |NE―→|·|n|
5