＝
1＝， 222（－1）＋（λ＋2）＋13
2
1
整理得λ＋4λ－3＝0，
又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2. 所以，线段A1E的长为7－2.
2．(2015·江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCDπ
为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
2
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
解：以{AB―→，AD―→，AP―→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． (1)因为AD⊥平面PAB，
所以AD―→是平面PAB的一个法向量，AD―→＝(0，2，0)． 因为PC―→＝(1，1，－2)，PD―→＝(0，2，－2)． 设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则m·PC―→＝0，m·PD―→＝0.
??x＋y－2z＝0，即?令y＝1，解得z＝1，x＝1. ?2y－2z＝0.?
所以m＝(1，1，1)是平面PCD的一个法向量．
AD―→·m3从而cos〈AD―→，m〉＝＝，
|AD―→||m|3
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为(2)因为BP―→＝(－1，0，2)，
设BQ―→＝λBP―→＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB―→＝(0，－1，0)，
6
3
. 3
则CQ―→＝CB―→＋BQ―→＝(－λ，－1，2λ)， 又DP―→＝(0，－2，2)，
从而cos〈CQ―→，DP―→〉＝CQ―→·DP―→1＋2λ|CQ―→||DP―→|＝10λ2
＋2
. 设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，
2
则cos2
〈CQ―→，DP―→〉＝2t5t2－10t＋9
＝
2
≤9.
9??15?t－9?2?2010?
＋
9当且仅当t＝925，即λ＝5时，|cos〈CQ―→，DP―→〉|的最大值为310
10
. 因为y＝cosx在??π?
0，2???上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP＝12＋22
＝5，所以BQ＝2255BP＝5
.
7