六年级暑期讲义第一讲：整数与整除
（1）整数：
正整数、零、负整数，统称为整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数 整数 0 负整数 【热身练习】
1、下列说法中，错误的是： ( A ) A. 最小的整数是0 B. 最大的正整数不存在 C. 最大的负整数是-1 D. 最大的自然数不存在 2、最小的正整数是___1____，最大的负整数是____-1_____。 3、把下列各数填入相应的横线上：-3, 18,-143, 0, 5,100.
负整数：_-3 _-143；正整数：_18_5_100；整数：_-3 18_-143_0 5_100_. 以上3题考察学生对整数的概念和分类的掌握程度。由： 正整数 整数 零 自然数 负整数
可知，没有最大和最小的整数，所以第1题应选A。
第2题可以将整数在数轴上列出，0左边就是-1，右边就是1，所以最小的正整数是1，最大的负整数是-1。
第3题要注意0的归属，0非正非负，但是是整数。 （2）整除：
整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a，记作ba。
整除的条件：(3整1零) (1)除数、被除数都是整数；
(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
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a÷b，读作a除以b或者b除a；a被b除或者b去除a。
凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；除尽包含整除，整除是除尽的一种特殊情况。 【热身练习】
4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是： ( D ) A. 4和12 B. 24和5 C. 35和8 D. 91和7
第4题需要分清“……能被……整除”和“…能整除…”的概念，若将题目改成“下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是”，就得选A了。 5、除式9÷1.5=6表示 ( C ) A. 9能被1.5整除 B. 1.5能整除9 C. 9能被1.5除尽 D. 以上说法都不确切
第5题考的是“……能被……整除”、“…能整除…”、“除尽”的概念，整除必须满足“3个整”——被除数、除数和商都是整数，而除尽只要“余零”就可以了。
6、28能被a整除，a一定是 ( D ) A. 4或7 B. 2、4或7
C.2、4、7、14或28 D. 1、2、4、7、14或28
第6题必须不缺不漏地把能整除28的数找出来，方法有2种：除式和乘式。找一个数的因数时也可以用这两种方法。
7、18÷9=2，我们就说18能被9整除或9能整除18. 第7题，纯概念题。
8、能整除14的数是1、2、7、14。 第8题，同第6题。
（3）因数与倍数：
如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数)。
因数、倍数是互相依存的。不能说a是倍数、b是因数！
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
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一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数。
最大公约数：也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
最小公倍数：几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。 性质：
一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数。 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。
0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。 【热身练习】
9、 6的因数有 ( C ) A.8个 B. 6个 C. 4个 D. 2个
第9题考察学生是否能正确找出6的所有因数：1、2、3和6，共4个。 10、6的倍数有 ( D ) A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 第10题考倍数的性质，一个整数的倍数有无数个。
11、已知14能整除a，那么a是 ( D ) A.1和14 B. 2和14 C. 14的因数 D. 14的倍数 第11题考点有2：1是“能整除”，2是倍数的概念。
12、下列说法错误的是 ( C ) A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身 B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身 C. 12在100以内的倍数共有10个
D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16
第12题，根据求倍数的方法，可以发现100以内12的倍数应有8个，因为12×8=96.
（4）能被2、5整除的数：
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能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。 能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数。 能被6整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数而且个位上的数字是0、2、4、6、8。（既能被2整除又能被3整除）
能被9整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是9的倍数.
【热身练习】
13、末位数字是0、2、4、6、8的数一定能被2整除。 第13题是纯概念题。可把2换成5再考同学一遍. 14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是0. 第14题，能被2整除的数，末位0、2、4、6、8；能被5整除的数，末位5或0；那么同时满足两个条件的就是末位是0的数。
15、能被5整除的最大的两位数是95，最小的两位数是10. 第15题需要明白最大两位数是99，最小两位数是10，据此搜索出想要的数。可将5换成2再考同学一遍。 16、奇数与偶数的积必定是偶数。 17、两个连续自然数的和是奇数。
第16、17题，同学需掌握，偶数×任何数=偶数；奇数+偶数=奇数。可引申为多个数乘或加。
18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数 30、60、90。
（5）素数、合数与分解素因数：
正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.
素数(质数)只有1和它本身两个因数；合数至少要有3个因数。 最小的素数是2；最小的合数是4；既不是素数也不是合数的正整数是1. 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数。
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分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等。 【热身练习】
19、在正整数1到20中，奇数有10个，偶数有10个，素数有8个，合数有11个。
奇数： 偶数：
素数：2，3，5，7 ，11，13，17，19
合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20
20、在1、2、9这三个数中，2既是素数又是偶数，9既是合数又是奇数，1既不是素数也不是合数。
21、老师将93本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学31位。 【巩固练习】 一、填空题
1、24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24. 2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是9270。 3、在20的所有因数中，最大的是20，最小的是1。
4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有31个。
二、选择题
5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是： ( C ) A. 14和7 B. 2.5和5 C. 9和18 D. 0.4和8 6、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是： ( A ) A. 91 B. 89 C. 11 D. 9
7、一个正方形的边长是奇数，它的周长是： ( A ) A.偶数 B. 奇数 C.无法确定 D.我承认我不知道 8、下列说法中，正确的是 ( C ) A. 12是倍数，3是约数 B. 能被2除尽的数都是偶数
C. 任何奇数加上1后，一定是偶数
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