线圆环的磁场逐渐减小，根据楞次定律，导线圆环中的感应电流亦为逆时针方向，导线圆环各元段?l所受的安培力都沿环半径向外．现取对于y轴两对称点U、V，对应的二段电流元I?l所受的安培力的大小为
方向如图所示，它沿x及y方向分量分别
?f?BI?l
(7)
?fx?BI?l?cos??BI?y
(8) (9)
?fy?BI?l?sin??BI?x
根据对称性，作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的x分量之和相互抵消，即
（式中?y??lcos?，当??
fx??BIΔy?BI?Δy?0
， ??y?0）
(10)
ππ
时，?y是正的，当??时，?y是负的，故22
而作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的y分量之和为
fy??BIΔx?BI?Δx?BI2a0
0(11)
），
（式中?x??lsin?，由于??在0??之间?x都是正的，故
??x?2a即半个导线圆环上受的总安培力的大小为BI2a0，方向沿y正方向，由于半个圆环处于平衡状态，所以在导线截面Q、N处所受（来自另外半个圆环）的拉力（即张力）F应满足2F?BI2a0．由（3）、（6）两式得
F?BIa0?234k2?0πa0(a2?a1)2?2a12a2R??0??t?
(12)
由（12）式可见，张力F随时间t线性减小．
11
六、如图所示，t时刻汽车B位于B?t?处，距O点的距离为vBt．此时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的．汽车A发出此笛声时位于
A(t1) ?A(t1) O A(t) vA A?t1?处，距O点的距离为vAt1．此笛声由发出点到接
收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u(t–t1)，由几何关系可知
(vBt)2??vAt1??[u(t?t1)]2 (1)
2B(t) ?B(t) vB 即
22222(u2?v2A)t1?2utt1?(u?vB)t?0
这是以t1为变量的一元二次方程，其解为
?u2?u2(v2?v2)?v2v2ABABt1????u2?v2A???t ???由于u2?u2?v2A，但t1< t，所以上式中只能取减号
t1?2222u2?u2(vA?vB)?vAvB2u2?vAt (2)
令
有
t?t1?22222u2(vA?vB)?vAvB?vAu
22?vAt (3)
222u2(v2A?vB)?vAvB?k
(4)
2k?vAu2?kt1?2t， t-t1?2t 22u?vAu?vA (5)
在t1时刻，位于A?t1?处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线）以?A?t1?、A?t1?B?t?在t时刻传到B?t?处，
?B?t?分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有
vAt1vA(u2?k) co? sA?t1???2u?t-t1?u(k?vA)(6)
vBtvB(u2?v2A) cos?B?t???2u?t-t1?u(k?vA)12
(7)
令??表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知
由（6）、（7）、（8）式，得
2222?222u2??u2v2A?vB?vAvB?vA??vBu?vA?????0
2222222u?vAuvA?vB?vAvB ??u?vBcos?B?t?u?vAcos?A?t1??0 (8)
????????(9)
七、解法一：
对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的距离为l时，已知mA = m，mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的距离
lC?2l 31lB?l
3 （1）
故A、B到质心C的距离分别为
2lA?l3（2）
O k A 若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、B的弹簧可以分成两个弹簧CA和CB．设弹簧CA的自然长度为lA0，劲度系数为kA，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的的自
x l C B 然长度为lB0，劲度系数为kB，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点．若连接A、B的自然长度为l0，根据题意有
由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为
k?l?l0??2mg
（3）
2lA0?l031lB0?l0
3（4）
当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹簧CA
和CB的长度分别为
2lA?l31lB?l
3（5）
弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为
2fA?kA?lA?lA0??kA?l?l0?
31fB?kB?lB?lB0??kB?l?l0?
313
但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有 由此得
fA?fB?f?k?l?l0?
3kA?k2kB?3k
（6）
相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即xA?0??0；B的坐标xB?0??l．由（1）式，可知此时质心C的坐标为
2xC?0??l
3（7）
在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力?m?2m?g．故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标
xC(t)?xC(0)?1221gt?l?gt2 232（8）
由于质心作加速运动，质心系是非惯性系．在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用．若在质心系中取一坐标轴O?x?，原点O?与质心C固连，取竖直向下为O?x?轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为x?弹簧CB作用于B的B时，弹性力
fB??kB?x?B?lB0?
当x?B?lB0时，方向竖直向上．此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上．作用于B的合力
由（3）、（4）式得 令 有
FB??kB?x?B?lB0??mg?mg
?1?2mg???FB??kB?x??B3?l?k???
????（9）
2mg?1?XB?x??l??? B3?k?（10）
FB??kBXB
（11）
当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置
14
的坐标
2mg?1?x??l?? B0?3?k?（12）
XB为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率
离开平衡位置的位移
?B?kB3k ?mB2m（13）
XB?ABcos??Bt??B?
（14）
AB为振幅，?B为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置x?B0的距离就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的lB，故B离开平衡位置的距离即振幅
由（5）式、（12）式得
AB?lB?x?B0
2mg2mg11 AB?l?(l?)?33k3k（15）
因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故 由此得
?B?0
XB??3k?2mg cos?t???3k2m??（16）
由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标
在地面参考系的坐标 得
?3k?2mg2mg1? ??x?t?(l?)?cost?B??3k3k?2m?（17）
xB?t??xC?t??x?B?t?
（18）
15