2012届高考数学二轮复习专题：分类讨论思想
分类讨论是一种要重的数学思想方法，是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法。其贯穿在整个高中数学学习的全过程。分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中有着重要的作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生的思维能力、解决问题的能力有很大的帮助。
分类讨论的思想在数学解题过程中被广泛的应用．而分类讨论思想在解题中最直接的体现是在解决带有参数的题目中。参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的同题可分为两种类型：一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围)。去探求命题可能出现的结果．然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。这两类参数问题是基于两个不同的角度出发的。从条件到结论和从结论反推条件，只能得到参数成立的条件。解决这一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法．即根据问题的条件和所涉及到的概念，运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。
一、合理的分类
把一个集合A分成若干个非空真子集Ai(i?1,2,3,?,n)(n?2,n?N)。使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即：① A1?A2?A3???A1?A；② Ai?Aj??(i,j?N,i?j)。则称对集合A进行了一次科学的分类。科学的分类满足两个条件：①保证分类不遗漏；②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，尽可能减少分类。
二、确定分类的标准
由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、不等式定义、二次函数定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等。 1．根据数学概念来确定分类标准
?a(a?0)?例如：绝对值的定义是：a??0(a?0)。所以在解含有绝对值的不等式log1x?log1(3?x)?1时，
33??a(a?0)?就必须根据确定log1x， log1(3?x)正负交界的x值l和2将定义域(0，3)分成三个区间进行讨论。即分
330?x?1，1?x?2，2?x?3三种情形来分类讨论。
例l、求二次函数y?x?mx?2在[2,3]上的最小值ymin的表达式。
2
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2、根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准
数学中的某些公式、定理、性质在不间条件下有不同的结论．在运用时要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。
例2、解关于x的不等式：loga(1?)?1。
解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。
1x
?na1(q?1)?n又如．等比数列前几项和公式是分别给出的：Sn??a1(1?q)，所以在解这类问题时。如果q是
(q?1)??1?q可以变化的量，就要以q为标准进行分类讨论。 例3、求和Sn?a?a???a?
2n
由于等比数列定义本身有条件限制．等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。
3．由参数的变化引起的分类讨论
某些含参数的问题．由于参数的取值不同会导致所得结果不同．或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。含参数问题。必须考虑参数的不同取值对问题的不同影响．并根据问题的需要对参数进行讨论，以解决问题。
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例4、问a为何值时，不等式(a?3a?2)x?(a?1)x?2?0的解是一切实数．
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题目中给出的不等式属于概念形式．而非具体到一元几次不等式，故解题过程中需针对a?3a?2是否为0分两种情况进行讨论，确定不等式为一元一次或一元二次．再进行解答。
例5、设函数f(x)?ax?2x?2，对于满足1 22 三、分类讨论的方法和步骤 (1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论的对象和它的取值范围： (2)确定分类标准，科学合理分类； (3)逐类进行讨论得出各类结果； (4)归纳各类结论。 2012届高考数学二轮专题：分类讨论思想（教师版） - 3 - 例6、设x?0是函数f(x)?(x?ax?b)e(x?R)的一个极值点。 （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； （Ⅱ）设a?0，g(x)??(a?a?1)e2x?22x，问是否存在?1,?2?[?2,2]，使得f(?1)?f(?2)?1成立？若 存在。求a的取值范围；若不存在，说明理由。 四、强化训练 （一）选择题 (?1)n?1?1、若不等式(?1)a?2?对n?N恒成立，则实数a的取值范围是（ ） nn A. [?2,) 32 B. (?2,) C. [?3,) 3232 D. (?3,) 32答案：D。分奇数和偶数两种情况讨论既可。 ?a,a?b2、对a , b ?R,记max{a,b}??，函数f(x)??? 的最小值是( ) max{|x?1|,|x-2|}(xRb,a＜b?A．0 B. 13 C. D. 3 22答案：C。当x?－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3?0，所以2－ 2012届高考数学二轮专题：分类讨论思想（教师版） - 4 - x?－x－1；当－1?x?－x；当 1时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1?0，x＋1?221?x?2时，x＋1?2－x；当x?2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1?x－2； 2?2?x(x?(??,?1)??2?x(x?[?1,1))3?2故f(x)??据此求得最小值为。也可用数形结合法。 2?x?1(x?[1,2))?2?x?1(x?[2,??))?3、若A?x|x2?(p?2)x?1?0，x?R，且A?R??，则实数p的取值范围是（ ） A. p??2 答案： D 4、函数f(x)?mx?(m?3)x?1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ） A. 0，?? 答案：B 5、已知函数f(x)?2??? B. p??2 C. p?2 D. p??4 ?? B. ??，1 C. 0，1 ???? D. （0，1） 11(sinx?cosx)?sinx?cosx,则f(x)的值域是（ ） 22?2???1,? (D) 2???2???1,?? 2???2?,1? (C) (A)??1,1? (B) ??2??答案：C。f(x)??cosx(sinx?cosx)11?{sinx,cosx}min (sinx?cosx)?sinx?cosx??22?sinx(sinx?cosx)点评：本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。 6、如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题： ①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； ②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点 有且仅有2个； ③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C. 2 D. 3 2012届高考数学二轮专题：分类讨论思想（教师版） - 5 - l1M（p，q） l2 O