第一章 复数与复变函数
1. 复数的定义
z?x?iy 直角坐标表示形式 实部：x?Rez；虚部：y?Imz；虚数单位i z???cos??isin?? 复数的表三角函数示形式 y表示形式 辐角??arctan；模：??x2?y2 x指数形式 z??ei? 相等 共轭 加法 减法 乘法 当x1?x2，y1?y2时，则称z1?z2 当x1?x2，y1??y2时，则称z1?z2或z1?z2 z?z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? z?z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? z?z1z2??x1?iy1??x2?iy2???x1x2?y1y2??i?x1y2?x2y1?或z?z1z2??1e??2ei?1i?2??1?2exp??i??1??2??? z?运算规则 除法 z1x1?iy1x1x2?y1y2x2y1?x1y2???i2222z2x2?iy2x2?y2x2?y2z1?1e?1??exp??i??1??2???z2?2ei?2?2n或z?i?1 乘方 zn???ei????nein?里莫夫公式?cos??isin???cosn??isinn?n z???cos??isin??开方 2. 区域与复变函数 区域 复变函数 具备：1. 开集性；2. 连通性 符合上述两个性质的复平面上的点集称为区域 当复变数z在复平面上变动时，如果复数?的值随着复数z的值而定，就称?为z的函数，记作??f?z? 1
??z??(cosnn??2k?n?isin??2k?n)k?0,1,...n?1
3. 单值函数和多值函数
幂函数 指数函数 单值函数 三角函数 双曲函数 根函数 多值函数 对数函数
sinz,cosz,tgz,ctgz shz,chz,thz,cthz ??zn????n为整数 ??ez??expz? ??nz?z1n????n为整数 ??lnz?lnz?iArgz 第二章 复变函数微积分
1. 极限与连续 极限 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)limu(x,y)?a;limv(x,y)?b?limf(z)?a?ib x?x0y?y0z?z0x?x0y?y0连续
z?z0limf(z)?f(z0) 2. 复变函数的导数
f(z0??z)?f(z0)存在，?z?0 ?z则此极限称为f(z)在z0的导数。对于点z0，如果lim设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点可导定义 函数在点z导数存在的充要条件 的充要条件是：u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微，并且在该点满足柯西-黎曼条件：?u?v ?,?x?y ?u?v???y?x3. 复变函数的解析 定义 函数不仅在一点可导，而且在该点的?邻域内点点是可导的，则称函数在该点是解析的。 2
函数在点z解析的充要条件 在点z的?邻域内的各点：?u?v?u?v ?1? u(x,y),v(x,y)连续且，，，存在；?x?y?y?x?2?柯西-黎曼条件成立。4. 调和函数与解析函数 调和函数 共轭调和函数 解析函数与调和函数的关系 5. 复变函数的积分
定义 分解成两个实变函数的积分 积分曲线用参数方程表示 6. 柯西定理
若函数f?z?在单连通区域D内解析，则 柯西定理 (1) 只要起点和终点固定不变，积分路径连续变形时，函数的积分值不变 (2) ??f(z)dz?0 c?2u?2u满足拉普拉斯方程2?2?0解的u?x,y?称为调和函数 ?x?y满足柯西-黎曼条件的两个调和函数u?x,y?和v?x,y?称为一对共轭调和函数 解析函数f?z??u?x,y??iv?x,y?的实部u?x,y?与虚部v?x,y?是一对共轭调和函数 ??cf(z)dz?lim?f(?k)?zk?zk?1? n??k?1ncf(z)dz???u?x,y?dx?v?x,y?dy???i?c??v?x,y?dx?u?x,y?dy?? c?积分曲线可用参数方程z?t?表示，线积分可写成 ?cf(z)dz??t?t2t?t1f??z?t???z??t?dt 多连通区域的柯西定理 ??f(z)dz????f(z)dz?0 ci?1cinn?f(z)dz????f(z)dz ?ci?1ci
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7. 柯西公式
若f(z)在闭单连通区域B上解析，c为B的边界线，z0为B内的任一点，则有柯西公式 f(z0)?1f(z)dz?2?i?z?z0cn!f(z)dz(n?1,2,...) n?1?2?i?(z?z)0c n阶导数的柯西公式
f(n)(z0)?第三章 复变函数的幂级数展开
1. 复数项级数的收敛和绝对收敛
各项为复数的级数?ak的部分和?ak在n??时趋于有限的极限，则称级k?0k?0?n收敛 数收敛，并称S为它的和。 绝对收敛 如果级数中各复数项模所构成的级数?ak收敛，就称级数?ak绝对收敛。k?0k?0?n 2. 复变函数项级数的收敛
??f收敛 n?1n(z)?f1(z)?f2(z)?...?fn(z)?... 其前面n项的和Sn(z)?f1(z)?f2(z)?...?fn(z)，如果对于D内的某一点z0，极限limSn(z0)?S(z0)存在，则称级数在z0处收敛。n?? 3. 收敛的性质 连续函数项收敛 (1) 级数的和是连续函数； (2) 级数可以逐项积分。 (1) 级数的和是解析函数； 解析函数项收敛 (2) 级数可以逐项求导； (3) 级数可以逐项积分，且积分与路径无关。 4. 幂级数的性质
如果级数?cnzn在z?z0(z0?0)收敛，则对满足z?z0?阿贝尔定理 n?1的一切z，级数绝对收敛。如果在z?z0级数发散，则对 满足z?z0的z，级数发散。 4
幂级数的收敛半径 R?limn??cn cn?15. 解析函数展开成泰勒级数
设f(z)在圆z?z0?R的内部解析，则f?z?在点z0的幂级数展开称为泰勒级数：f(n)(z0)f(z)??cn(z?z0) 其中系数cn?n!n?0?n泰勒级数 ?z2znzne?1?z??...??...??2!n!n?0n!zR??? z3z5z2n?1nsinz?z???...?(?1)?...3!5!(2n?1)!??(?1)nn?0?z(2n?1)!2n?1 R???泰勒展开式和收敛半径R 2nz2z4nzcosz?1???...?(?1)?...2!4!(2n)!??(?1)nn?0?z(2n)!2n R???n?1z2z3z4nzln(1?z)?z????...(?1)?...?????z?1 234n?1(1?z)??1??z??(??1)2!3!?(??1)???[??(n?1)]n?zn!z2??(??1)(??2)?... z?1 6. 解析函数的洛朗展开
设函数f?z?在圆环域R1?z?z0?R2内解析，则对环域上任一点z，f?z?可展开成洛朗级数：?洛朗级数 (双边幂级数) f(z)?n????c(z?z)n0n 系数cn?1f(z)dz(n?0,?1,?2,...)n?1??2?iC(z?z0)积分路径C为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。
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