第四章 留数及其应用
1. 解析函数的奇点 孤立奇点 2. 孤立奇点的分类 奇点名称 可去奇点 极点 本性奇点 3. 留数定理和留数的求法
极限性质 以z?z0为中心，在去心邻域中f?z?的洛朗级数展开形式 z?z0若z0点是f?z?的奇点，但f?z?在z0的某一个去心邻域 0?z?z0?R内解析，则称z0是函数f?z?的孤立奇点。limf?z??有限值 不含负幂项 z?z0limf?z??? 含有限个负幂项 含无限个负幂项 z?z0limf?z?不存在 留数定理 ??f(z)dz?2?icc?1?2?i?Resf(zk) k?1nResf?zk?称为函数f?z?在点zk的留数 z0是f?z?的可去奇点 Resf(z0)?0 把f?z?在z0展开成洛朗级数求c?1 如果z0是f?z?的一阶极点，Resf(z0)?lim(z?z0)f(z) z?z0z0是f?z?的本性奇点 如果z0是f?z?的m阶极点， z0是f?z?的极点 1dm?1Resf(z0)?limm?1{(z?z0)mf(z)} (m?1)!z?z0dzf(z)?P(z)，P(z)、Q(z)都在z0处解析，如果P(z0)?0，Q?(z0)?0，Q(z)Q(z0)?0，则z0为f?z?的一阶极点，且Resf(z0)?P(z0) Q?(z0) 6
4. 三类典型的实函数的定积分
1z2?1z2?1令f(z)?R(,) iz2iz2z类型I ?2?0R(sin?,cos?)d? ?2?0R(sin?,cos?)d??2?i?Resf(zk) k?1n类型II 若实轴上没有奇点，则 n????P(x)ResR(zk)???R(x)dx????Q(x)dx?2?i?k?1 ?????R(x)dx 即?R(x)dx?2?i?R(z)在上半平面所有奇点的留数之和?????若实轴上有有限个一阶极点，则 ?类型III (a?0) ????R(x)dx??2?iaix上半平面?nResR(z)+?i实轴上?ResR(z) ?????aizk?R(x)edx?2?i?Res?R(z)ek??k?1?????
????R(x)eaixdx 即???R(x)eaixdx?2?i?R(z)eaiz在上半平面所有奇点的留数之和???????R(x)cosaxdx R(x)sinaxdx ??????n?aizk??R(x)cosaxdx?Re?2?i?Res?R(z)e?k?? k?1??n?aizk??R(x)sinaxdx?Im?2?i?Res?R(z)ek??? k?1????????第五章 拉普拉斯变换及其应用
1. 拉普拉斯变换
??(t)?????0?t????设函数?(t)???0??????????t?0?定义 则??p????(t)e?ptdt0?称为?(t)的拉普拉斯变换，其中??(t)e?ptdt称为拉普拉斯积分。 0?通常称?(t)为??p?的原函数，??p?为?(t)的像函数。记作L??(t)????p?或者L-1????p?????(t) 2. 拉普拉斯变换的性质
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线性定理 若f1?p??L??f1?t???，f2?p??L??f2?t???则c1f1?p??c2f2?p??L??c1f1?t??c2f2?t??? 导数定理 L??f??t????pf?p??f?0??n???pnf?p??pn?1f?0??pn?2f??0????pf?n?2??0??f?n?1??0?L?ft????t1L??????d???L???t??? ???0?p? 积分定理 相似性定理 延迟定理 位移定理 1?p?L?fat??????af?a? ???pt0L??f?t?t0????ef?p? ??tL??ef?t????f?p??? 若L??f1?t????f1?p?，L??f2?t????f2?p?，则卷积定理 ???????????????????????L??f1?t?*f2?t????f1?p?f2?p?t0 其中f1?t?*f2?t?=?f1(?)f2(t??)d?称为f1?t?与f2?t?的卷积。
第六章 傅里叶级数和傅里叶积分变换
1. 傅里叶积分与傅里叶变换 傅里叶三角积分 f(x)??ak?1?0??akcoskx?bksinkx?dkf?x?coskxdx bk?1?????????f?x?sinkxdx 复数形式的傅里叶积分 f?x??1ck?2?12?????ckeikxdk ????f???e?ik?d?傅里叶变换 1?f????F?f(x)e?i?xdx?f?x?????2??? ?1?f?x??F?1?f??f???ei?xd??????2??? 2. 傅里叶变换的性质
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导数定理 积分定理 相似性定理 延迟定理 位移定理 F??f??x????i?f???F??f?n??x?????i??nf??? ?x?1?F?f???d???f??? ????i?1???F?fax??????af?a? ???i?x0F?fx?x?ef??? ???0??i?x0F?ef?x?????f????0? 若F??f1?x????f1???，F??f2?x????f2???，则卷积定理 ???????????????????????F??f1?x?*f2?x????2?f1???f2???其中f1?x?*f2?x?=???? f1(?)f2(x??)d?称为f1?x?与f2?x?的卷积。 3. ?函数
?函数是定义在区间???,??上并具有以下性质的函数：定义 ??0 ?x?x0?0??i? ??x?x0?????? ?x?x0?0? ?ii? ?????x?x0?dx?1傅里叶积分展开 1??x?x0??2??????e?ik?x?x0?dk 9