23.简单的面积问题
知识纵横
几何起源于对图形的面积的测量,面积(area)是平面几何中一个重要的概念,求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一.
平面几何图形形状不同,繁简不一,计算图形的面积有以下常用方法: 1.和差法
把图形面积用常见图形面积的和差表示,通过常规图形面积公式计算. 2.运动法
有时直接求图形面积有困难,可通过平移、旋转、割补等方式,将图形中的部分图形运动起来,把图形转化为容易观察或解决的形状,就可在动中求解. 3.等积变形法。
即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形,通过代换转化求图形的面积.
例题求解
【例1】(1)如图a,边长为3cm,与5cm的两个正方形并排放在一起,在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心,边长为半径的圆弧,则阴影部分的面积是_____cm2.( ?取3).
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
(2)如果图b中4个圆的半径都为a,那么阴影部分的面积为_______. (第17届江苏省竞赛题)
思路点拨 通过连结或补形,把图形进行分割和重新组合,变不规则图形为规则图形,(1)连AC、BF.
(2)连AD,BC,CD,则S阴影是由ABCD围成阴影面积的6倍. 解:(1)18.75 ∠EBF=∠FCA=45°,AC∥BF,S△AOF=S△BOC,S径的圆的面积;
(2)S=6S1=12a2-3?a2
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阴影
=
1以B为圆心,BC?为半4
【例2】如图,梯形ABCD被对角线分为4个小三角形,已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2,那么梯形的面积是_________m. A.144 B.140 C.160 D.无法确定
(2001?年“五羊杯”邀请赛试题)
思路点拨 图形隐含多对面积相等的三角形,要求梯形的面积只需求△DOC的面积,解题的关键是通过线段的比把三角形面积联系起来. 解:选A 提示: S△AOD = S△BOC =35(m2),
S?AODDOS?DOC== 求得S△DOC =49(m2) S?ABOBOS?BOC 【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据,求△ABC的面积.
(2000年新加坡数学竞赛题) 思路点拨 设S△AGE=x,S△BFG=y,建立关于x,y的方程组,通过代数化解题.
?x?35AGy?84????x?70?30GD40 解:提示:由图形得?,解得? ,故S△ABC=315.
y?5684FGy??????x?35GC40?30 【例4】如图,△ABC的面积为1,D、E为AC的三等分点,F、G为BC的三等分点.
求:(1)四边形PECF的面积. (2)四边形PFGN的面积.
思路点拨 (1)连CP,设S△PCF=x,S△PCE=y,可建立关于x,y的方程组,解题的关键是把相关图形的面积用x,y的代数式表示,并利用等分点导出隐含图形的面积;(2)连NC,仿(1),先求出△BNC的面积,再得出△BNG面积,进而可求四边形PFGN的面积.
1?x?3y?????11?3解:(1) ? ①+②,得x+y=,即S四边形PECF=
66?3x?y?1????3?(2)连NC,ND,设S△NGB =a, S△NCG =b,则S△NCG=2a, S△NEA=2b,
11??3a?b?a?????321则?,?解得?
?b?4?2a?3b?2???213?故S四边形PFGN= S△BEC - S△BNG –S四边形PECF=
1115 ???321642【例5】在方格纸中,每个小方格的顶点叫做格点,在2×2方格纸中,以格点连线为边作面积为2的多边形,请尽可能多地找出答案,?在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗?
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思路点拨 本例是一道开放式探索性问题,若没有规律性的认识,则难免遗漏或重复,适当的方法是:选择一些图形作基本图形,?再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答. 解:提示:我们可以将以下7个图形作为基本图形,再通过基本图形的组合,?可以得到如下23个解答.
学力训练
一、基础夯实
1.如图1是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案,图中阴影部分为红色,若每个小长方形的面积都是1,则红色的面积是______. (2003年山西省中考题)
（1） （2） （3）
2.如图2,?4?个半径为1cm?的圆相靠着放在一个正方形内,?则阴影部分的面积是______cm2(精确到0.01)
3.如图3,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点,若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积是_____平方厘米.
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4.如图4,若长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别为7、4、6,?则阴影部分的面积是_______. (“五羊杯”竞赛题)
（4） （5） （6）
5.如图5,一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形,如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8,6,5,那么阴影部分的面积为( ).
A.
971015 B. C. D. (第17届江苏省竞赛题) 22386.如图6,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,所围成的图形(?阴影部分)的面积为( ). (2003年广东省中考题)
A.?a2-a2 B.2?a2-a2 C.
11?a2-a2 D.a2-?a2 247.如图7,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF?交于一点
G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是( ).
A.25 B.30 C.35 D.40 (2002年湖北省荆州市中考题)
ABC
（7） （8） （9）
8.如图8,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,AE、DE、BF、AF?把正方形分成8小块,各小块的面积分别为S1、S2、?S8,试比较S3与S2+S7+S8的大小,并说明理由. (第15届江苏省竞赛题)
9. 如图9，将△ABC分成面积相等的5部分,并指出面积相等的是哪5部分(?只在图上保留分割痕迹和必要的标注,不写作法). 二、能力拓展
10.2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图10所示,?它是由四个相同的
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直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,则每个直角三角形的两条边的立方和等于______.
（10） （11） （12）
11.如图11,在长方形ABCD中,DM:MC=2:1,AN=a,NB=b,DN是以A为圆心,a为半径的一段圆弧,NK是以B为圆心,b为半径的一段圆弧,则阴影部分的面积S阴=____. (2003年广西竞赛题) 12.如图12,ABCD是平行四边形,E在AB上,F在AD上, S△BCE =2 S△CDF =
1S ? ABCD=1,4则S△CEF =_____. (第14届“希望杯”邀请赛试题)
13.如图13,三角形ABC的面积为1,BD:DC=2:1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,?那么四边形PDCE的面积为_______. (第17届江苏省竞赛题)
（13） （14） （15）
14.如图14,点E、F分别是长方形ABCD的边AB、BC的中点,连AF,CE,设AF、CE?交于点G,则
S四边形AGCDS长方形ABCD=( ). (2002年全国数学竞赛题)
A.
5432 B. C. D. 6543AE15.如图15,凸四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,若三角形AOD的面积是2,三角形COD的面积是1,三角形COB的面积是4,则四边形ABCD的面积是( ). A.16 B.15 C.14 D.13 (第15届“希望杯”邀请赛试题) 16.如图, S△ABC =1,若S△BDE = S△DEC = S△ACE,则S△ADE =( ).
BDC- 5 -