武汉理工大学教师备课专用纸
?0.5??1??0.5?0???0.51.5?????0.25?0???0?????0.5?0??0?0??0?0.25????0?0????0?v1???3.252??v???1.252?2??????u3??1???0.088??????? ?v3?E??0.372??u5??0.176?????????u0.176???6?按照每个单元的节点组成，从总节点向量位移中挑选出每个单元的节点位移向量，运用前面
单元分析中得到的公式，回代就能计算应变、应力了。（是哪个公式？）
§2.16 四节点矩形单元
前面我们运用三节点三角形单元，获得单元的应变和应力是不变的。这和实际情况有着明显的差异（实际中应力应变在单元中是连续变化的）。产生这种差异的原因，就是我们的位移模式过于简单。下面我们将就如何选择位移模式，提高有限元计算精度，进行说明。同时也可以就如何选择单元，有个初步的认识。首先讲解四节点的矩形单元。 一，矩形单元位移模式
如图所示的矩形单元，四个节点分别为i、j、m、p。
0?0.251.50.25?0.500?0.50.251.5?0.25000.25?0.5?0.251.5?0.50??v1??v?0???2?0???u3????? 0??v3??0.5??u5????0.5????u6??解以上这个方程，可以得到以下的解。
单元节点位移向量????uie?viujvjumvmupvp
?T对应的会有8个节点力分量。由于矩形单元的节点位移向量是8个，那么根据前面我们学过
的三角形推导过程知道，可以建立8个方程，求解8个待定系数。所以在位移模式中的待定系数可以是8个。即：
武汉理工大学教务处制 46
武汉理工大学教师备课专用纸
?u?a1?a2x?a3y?a4xy ?v?a?ax?ay?axy5678?由于我们选择的是多项式插值。所以对于2元函数多项式项元的选择，可以用帕斯卡三角形确定。如左图。
从该三角形可以看出，2元多项式的二次项有三项，即x2、y2、xy。如果选取前面两项中的任何一项，都会造成位移模式偏惠与你所选择的那个方向。从而使位移出现不对称的情况。只有增加xy这一项，才能避免这种情况出现。也就满足了我们材料各向同性的要求。
选取局部坐标系，将四个节点的坐标代入该公式，并求解待定系数，最后可以得出和前面三角形单元类似的关系：
??????Ni?00NiNj00NjNm00NpNm0?ui??ui?0??????????N???? ?Np????v?vp???p?其中的Ni?1?x??y?1?x??y??1???1?? Nj??1???1?? 4?a??b?4?a??b?1?x??y?1?x??y??1???1?? Nm??1???1?? 4?a??b?4?a??b? Np?在上面公式中，代表节点坐标的是什么？
位移模式的讨论。 1，应变和刚体位移 由几何方程得
?x??y??xy??u???a1?a2x?a3y?a4xy??a2?a4y ?x?x?v???a5?a6x?a7y?a8xy??a2?a8x?y?y?v?u?????a5?a6x?a7y?a8xy???a1?a2x?a3y?a4xy??a3?a4x?a6?a8y ?x?y?x?y同三角形单元位移模式一样，常应变和刚体位移包括在位移模式之中。同时我们可以看到，应变中还有随x、y的变量应变。所以在矩形单元不再是常应变或常应力单元了。
2，在局部坐标系中，当x=±a（y=±b）时，位移模式是x（或y）的线性函数（将x=±a（y=±b）代入位移表达式中即可）。这表明在边界上位移按线性规律变化，在公共边界上的位移是连续的，满足收敛性的充分条件。 二，矩形单元的刚度矩阵
??x??????y?????xy?e???e?????x??0???????y?0?0b?y0b?y0??b?y?0??ui????b?y?e????u?1????0??a?x?0??a?x?0a?x0a?x?????????y??v?4ab???a?xb?ya?x??b?y?????a?x???b?y???a?x?b?y??vm?????x??应力向量
???e??D??B???e?。分别代入平面应力和平面应变的弹性矩阵，就可以得出两类问题的应
武汉理工大学教务处制 47
武汉理工大学教师备课专用纸
力解。
刚度矩阵?K??eT相乘后逐项积分即得单元刚度??B??A?D??B?tdxdy代入[B]和[D]矩阵，
矩阵，见教材中的具体计算公式。需要说明的是，由于[B]不再是常数矩阵（还有x、y），所
以积分运算较三角形单元复杂些。具体见如下矩阵。
武汉理工大学教务处制 48
武汉理工大学教师备课专用纸
矩形单元的载荷向节点移置的方法同三角形单元总刚矩阵组集的原则和方法、边界条件的处理等也同三角形单元。其中不同的位置仅是单元节点位移和节点载荷的数目，不再是6个而是8个。 三，讨论
矩形单元的优缺点：
1）其位移模式推导出的应力、应变不再是常量，分布更接近实际物体中的分布。从而使这种单元的计算精度更高。
2）对于斜边性边界和曲线边界的拟合性差，且不便于在不同部位采用不同大小的单元。实际应用中常需要三角形单元在大小不同的矩形单元之间进行过渡。见下图。
§2.17 六节点的三角形单元
从以上对矩形单元的推导，可以看出，增加单元节点的数目可以提高单元位移模式的插值次数，进而可以提高单元计算精度。沿用这样的思路，我们对三角形单元也可以采用相同的办法。不过增加的节点是在每条边的中点。这样就得到了一个六节点的三角形单元。如图所示。
一，位移模式
由于这样的单元有6个节点，所以节点位移向量的个数就是2×6=12个，那么在位移模式中可以有12个待定系数。参看帕斯卡三角形，我们选用以下的位移模式：
?u?a1?a2x?a3y?a4x2?a5xy?a6y2 ?22v?a?ax?ay?ax?axy?ay789101112?将每个单元公共边上的方程代入，可以求得一个二次的抛物线方程，而公共边上有三个公共节点，所以可以唯一确定这条抛物线。这表明该插值模式满足位移连续的收敛性充分条件。
仍然可以按照前面三节点三角形单元的方法，分别将6个节点位移代入，然后解联立方程组，求12个待定系数。这样的计算，由于待定系数过多，计算过程也过于繁杂。所以实际中是采用面积坐标的形式进行计算。 二，面积坐标
三角形三个顶点i、j、m，p为三角形中任意一点，
其在三角形中的位置，可以用Li定。其中：
?LjLm?来确
Li?AjAiA Lj? Lm?m
AAAA——三角形的面积。
Ai——是三角形pjm的面积。 Aj——是三角形pim的面积。
武汉理工大学教务处制 49
武汉理工大学教师备课专用纸
Am——是三角形pij的面积。
当P在图中虚线上任一点是，Li是相同的（三角形面积为底×高的一半），在该三角形的三个顶点，分别有： i，Li=1、Lm=Lj=0 j，Lj=1、Lm=Li=0 m，Lm=1、Li=Lj=0
而且有Li?Lj?Lm?1，将节点的面积坐标和前面我们推导出的形函数Ni进行比较，可以知道，形函数实际就是面积坐标。 三，六节点三角形单元的位移模式
?u?Niui?Njuj?Nmum?N1u1?N2u2?N3u3? v?Nv?Nv?Nv?Nv?Nv?Nviijjmm112233?推求如下：
Ni在i节点处应为1，在j、3节点处应为零，面积坐标Li虽在i节点处为1，但在2、3节点处却为1/2，所以还是用Li作为Ni就不行了。为此我们构造一个函数?Li?Li?该函数是否满足形函数的性质。 由于Li在2、3节点处，Li???1??，考察2?1所以很显然上式等于零。 2??1??=1，可以计算出来） 2?在i节点处要为1，那么β=2。（令?Li?Li?1??? 所以Ni?2Li?Li?2??同理可得Nj?2Lj?Lj???1?1??? Nm?2Lm?Lm??
2?2??对于N1应满足j、m节点处为零，所以构造函数?LjLm， 令?LjLm=1（在节点1处应为1），可以求得β=4 所以N1?4LjLm，同理得N2?4LiLm
N3?4LiLj
综合以上推导，六节点三角形单元的形函数如下：
武汉理工大学教务处制 50