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单元○1为i，j，m=1，2，3（i节点从最小号开始，然后逆时针排列节点号），单刚方程：??F1?1???K1??11??K12?1?K1??F2?1?????K121??13???K???1?1?1??F?1???K?1?3??31?22?1?K1?23?????2??? 将它们展开 K132??K33?1??????3?1???F1?1??K111???1?1??K12?1??2?1??K13?1??13?
?F12?1??K21?1??11???K122?1??2???K123???3? ?F11113???K131???1???K32???2?1??K33???3?1
完全相同的道理，得其他三个单元展开的单刚方程
单元○
2 节点号为i，j，m=1，3，4 ?F21?2??K11???1?2??K13?2??3?2??K14?2??24? ?F23?2??K31?2??21???K33?2??23???K234???4? ?F2224???K241???1???K243???3?2??K44???4?2
单元○
3 节点号为i，j，m=3，5，4 ?F33333???K333???3???K35???5?3??K34???4?3 ?F35?3??K53???3?3??K55?3??5?3??K54?3??34? ?F4?3??K343?3??33???K45?3??35???K344???4?
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节点号
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4 节点号为i，j，m=2，3，5 单元○
?F2?4??K22?4??2?4??K23?4??3?4??K25?4??5?5 ?F3?4??K32?4??2?4??K33?4??3?4??K35?4??5?4 ?F5?4??K52?4??2?4??K53?4??3?4??K55?4??5?4
实际上，刚度方程可以写成如下的一般形式：
?Fi????Kik???k? k表示单元的节点组成
k?i,j,m2，即各个节点力的合力等于节点载荷 首先我们运用规则○
??F???R?
eiie所以也就有：?F1???F1???R1?
12?F2?2??F2?4??R2?
?F3?1??F3?2??F3?4??F3?3??R3? ?F4?2??F4?3??R3? ?F5?3??F5?4??R5?
我们将上面得到的方程按这个规律相加：
?F1?1??F1?2??R1???K11?1??1?1??K12?1??2?1??K13?1??3?1
222222??K11???1???K13???3???K14???4?1，即对这个等式运用规则○
???????1ii2?????i????i?并整理有：
n?R1????K11?1??K11?2???1???K12?1??2????K13?1??K13?2???3???K14?2??4??R2???K21?1??1????K22?1??K22?4???2????K23?1??K23?4???3???K25?4??5??R3????K31?1??K31?2???1????K32?1??K32?4???2????K33?1??K33?2??K33?3??K33?4???3????K34?2??K34?3???4????K35?3??K35?4???5??R4???K41?2??1????K43?2??K43?3???3????K44?2??K44?3???4???K45?5??5??R5???K52?4??2????K53?3??K53?4???3???K54?4??4????K54?3??K55?4???5?4将上述的
这些方程写为矩阵的形式，就得到了该问题的总刚方程为：
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?R1???K11?1?2?R??1??K221??????1?2?R3???K31??R???K?2?4??41???R5???0?K12?1?K13?1?2?K14?2?K22?1?4?K23?1?40?K32?1?4?K33?1?2?3?4?K34?2?3?K43?2?3?K44?2?30?K52?4?K53?3?4?K54?3???1?????K25?4???2???K35?3?4????3?
3???K45????4??3?4??K55?????5??0我们对这个总刚方程进行分析，可以得出以下的规律
3， 总刚矩阵的规律
总刚方程就是运用所有节点的位移向量和总刚矩阵相乘，得到结构的节点载荷，节点载荷向量（外界对弹性体作用的载荷）很容易求得，节点位移向量是未知量，关键就是总刚矩阵如何得出。如都按照上述的步骤，成千上万个节点，该如何作呢？所以有必要总结总刚度矩阵的规律。
1当r=s时，即子块矩阵[Krs]是总刚矩阵主对角线上的子块矩阵。由环绕节点r（s）各单元○
刚度矩阵的相应对角线子块相加。
2当r≠s时，但r、s是相邻单元的公共边上的节点时，子块矩阵[Krs]等于两相邻单元刚矩○
阵的相应子块矩阵相加。如上例中的[K13]、 [K31]等。
3当r≠s时，且r、s只是一个单元的边上节点时，子块矩阵[Krs]就等于该单元刚矩阵的相○
应子块矩阵。如上例中的[K12]、 [K21]等。
2当r≠s时，且r、s不属于一个单元的边上的节点时，子块矩阵[Krs]等于零。如上例中的○
[K15]、 [K51]等。
利用上述规律不仅可以检验总刚组集的正确与否，而且可以直接组集总刚矩阵（手工组集）。但这种方法不利于计算机编程。下面介绍计算机组集总刚矩阵的方法 4， 总刚矩阵组集的步骤
1扩大各单元刚度矩阵，使之成为与总刚矩阵相同的阶数。 ○
2按照总体节点的编号，将各单元刚度矩阵的各个子块移到相应的位置上。其余位置充零。○ 3把各个改造过的矩阵直接相加，就得到总刚矩阵。 ○
4为例讲解步骤○1、○2 我们以单元○
单元4的i、j、m=2、5、3，所以单元刚度方程是
??F2?4???K22?4??4?1??F5?????K25???F?4???K?4?3??32单刚矩阵
?K25?4?K23?4????2?4??4????K55?4?K52?4????5? ????4??K35?4?K33?4???3?4?K?4??K22??1???K25???K?4?324?K25??K55?4?K35?4?K23???K52?4??4??K33??4???K22?4?4??K52???K?4?32?0?0??K25?4?K23?4?K55?4?K53?4?K35?4?K33?4000000??00?00??00?00???武汉理工大学教务处制 38
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?0?0??0??0??00404?K22??K23??K32?4?K33?400?K52?4?K53?400000??K25???4 ?K35???0??K55?4??40二，总刚度矩阵的性质
总刚度矩阵由单元刚度矩阵组集而成，所以也具有单元刚度矩阵的一些性质，如相同的物理意义，位置无关性、对称性和奇异性等，还具有以下性质： 1） 稀疏性
由规律4知，当rs，且r、s不属于同一单元的两个节点是[Krs]=0，表明互不相关的节点数愈多，零子块矩阵就愈多。一般说来相关节点数不超过9，而整个分析对象常常成百上千、上万或几十万。如果整体有100个节点，那么百分之九是非零子块，而百分之九十多都是零子块。所以在总刚度矩阵中非零的子块是很稀少的。 2） 带状性
所谓带状性，就是指总刚矩阵中的非零子块，集中分布在主对角线的两侧，呈带状分布。 半带宽值就是计算这带状宽度的数值。它是以排列元素最长的一行，从第一个非零元素起至主对角线元素止，所有元素的个数。其数值可以由节点的总体编号算出。 B=（相邻节点号的最大差值+1）×（单个节点的自由度个数） 对于平面问题说来，就是：
B=（相邻节点号的最大差值+1）×2
下图中的两种编号方式，可以的分别计算其半带宽值： 图a，B=（2+1）×2=6 图b，B=（6+1）×2=14
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半带宽值影响计算机存取总刚矩阵所需的内存大小。愈小愈好。由于半带宽值是直接受节点总体编号的影响。所以我们在建立有限元模型时，应慎重考虑，采用优化的方法。（现在通常在程序中都配有这样的优化程序）。 三，总刚矩阵的压缩存取技术
由于总刚矩阵具有对称性，所以我们只需存入主对角线上半带或下半带的元素，就可以完成解方程的运算。此即为总刚矩阵的半带宽存储方法。 假定取主对角线上半带元素存储，具体做法就是每行元素以主对角线上的元素开始，存储每行半带宽数值的元素个数。如此各元素的行号不变，改变的只是列号。新列号和原列号的关系式如下：
新列号=原列号-行号+1
前面图示的例子，如果采用图示表示总刚矩阵的存储，就是：
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