10级应用数学本1、2班《普通物理（含实验）B》 第五版 动量守恒定律和能量守恒定律
第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答
问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-19
3-1
如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B ,（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 答：
选太阳处为坐标原点O，且O→C方向为X轴正方向，O→B方向
A太阳BC为Y轴正方向，设地球和太阳的质量分别为m,M，两者间的距离为r，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为v，故根据万有引力定律，有：
mv2r?GmMr2，即 v?GMr
（1）地球从点A运动到点B的动量增量为：
??????PAB?m(vB?vA)?m(vi?vj)?m??GMr(i?j)
根据质点的动量定理，地球所受的冲量为：
??IAB??PAB?m??GMr(i?j)
（2）地球从点A运动到点C的动量增量和所受的冲量为：
???????PAC?IAC?m(vC?vA)?m(?vj?vj)??2m?GMr?j
（3）同理，地球从点A出发绕行一周回到A点的动量增量和所受的冲量为：
?????PAA?IAA?m(vA?vA)?0
3-3
在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？ 答：
（1）人不动，则气球的加速度不变。
（2）以气球及梯子（总质量为M）与人（质量为m）为系统，地面为参照系，且设人相对
???梯子上爬的速度为v、气球相对地面的速度为V，人相对地面的速度为v?，则有
???v??v?V
如果设气球及梯子与人初始为匀速率v0竖直上升，则可应用动量守恒定律，得
mv??MV?(m?M)v0
所以， V?v0?mv(m?M)
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故得气球的加速度为
a气?dVdt??mm?M?dvdt
dvdt?0（相对梯子匀速爬上）时a气?0；
由此可知，当人相对于梯子的加速度而当
dvdt?0（加速爬上）时，a气?0。
【选地面为参照系，竖直向上为坐标的正方向；设气球及梯子与人初始的加速度大小为a0，气球浮力为FF；当人以加速度ar向上爬时，气球及梯子的加速度为aq，此时梯子与人之间的相互作用力大小为FT，则根据牛顿定律，有
FF?(m?M)g?(m?M)a0 FT?mg?mar
FF?Mg?FT?Maq
解得 aq?[Ma0?m(ar?a0)]M 当人在梯子上不动时， a0?ar，aq?a0；
当人以相对加速度ar?a0爬上时，气球及梯子的加速度aq?[Ma0?m(ar?a0)]M，有变化。】
【或应用质心运动定律求解。
将人与气球及梯子看成一个系统，其质心的加速度为
??mar?Maq?a?
m?M因为系统所受合外力恒定，故
??m?ar?M?aq??a??0
m?M?m?ar?即得 ?aq??，表明气球加速度的改变与人的加速度变化有关，改变的方向相
M反。】 3-7
在水平光滑的平面上放一长为L，质量为m?的小车，车的一端站有质量为m的人，人和车都是静止不动的。当人以v的速率相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？ 解：
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如右图，设人、板相对于地面的速率分别为v?v(t)、u?u(t)，方向如图所示； 因为人和板组成的系统沿水平方向的合外力为零，故根据动量守恒定律得
m?u?mv?0 即 u?mvm?， 人相对于板的速率为
v??v?(t)?v?u?m??mm?t0vuu?v， 0Lxsx设从板的一端走到另一端需要的时间为t，则有
L??t0v?dt?m??mm?t0?vdt?m??mm??x，
上式中，x? x??vdt为人相对于地面移动的距离， 所以，人相对于地面移动的距离为
m?Lm??m，
mLm??m板相对于地面移动的距离为 S?L?x?【或应用质心运动定律求解：
。
选地面为参照系，开始时人的位置x0为坐标原点，人走到车的另一端时人的坐标为x1、车的中心位置坐标为x1?；
人车系统所受合力为零，则根据质心运动定律，有
0?(m?m?)?dvCdt??，即得 vC?C
?又由初始条件 vC0?0，得 vC?0 所以质心位置不变： xC??mx0?m?x0m?m??mx1?m?x1?m?m??
??mx1?m?x1? 即有 mx0?m?x00?m?L2?mx1?m?(x1?L2)
mLm??m解出 x1?m?Lm??m， S?L?x1? 】
3-10
质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。 答：
在两惯性系（S,S?）中，质点的速度关系为v?v??u，故由p?mv和EK??????12mv知
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（1）质点的动量p和动能EK都与惯性系有关；
??（2）两惯性系中质点所受的合力F?F?，但移动的路程不同，故功与惯性系有关；
?????t2?v2dv??（3）不同的惯性系中均有F?m，故?Fdt???mdv，即I??p，所以其动量定理
t1v1dtr2?v2v2dv?ds??mvdv，可得出W??EK，故其动与惯性系无关；同理，根据?F?dr??mr1v1v1dt能定理也与惯性系无关。 （举例说明） 3-14
如图所示，光滑斜面与水平面间的夹角为?。（1）一质量为m的物体沿斜面从点A1下滑至点C，重力所作的功是多少？（2）若物体从点A2自由下落至点B，重力所作的功又为多少？从所得结果你能得出什么结论（点A1,A2在同一水平面上）？
解：（1）、m在斜面上沿A1?C下滑dl时，重力所作的功为：
??dW?P?dl?mgsin??dl
A1A2SC?Bh滑至C点重力所作的功为：
WAC?1?dW??A1Cmgsin??dl?mgsin??A1Cdl?mgSsin??mgh
（2）、点A2自由下落至点B，重力所作的功为：
WA2C??dW????P?dh?A2Cmg?dh?mg?A2Cdh?mgh
由此可见， m沿斜面下滑时重力所作的功与m自由下落相同的高度差时重力所作的功相等，且与斜面的倾角的大小无关。 3-19
在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中又有哪些量保持不变？ 答：
?在碰撞过程中，因系统内物体间的相互作用力远远大于外力，可认为F外?0，则根据动量
定理，得知在弹性碰撞或非弹性碰撞中系统的总动量保持不变；而在弹性碰撞中，因系统的机械能没有转化为其它形式的能量，故其机械能保持不变。
习题3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、（选择题） 3-8、3-11、3-15﹡、3-19、3-23、3-28、3-37
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3-1
对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关； （2）质点组总动能的改变与内力无关； （3）质点组机械能的改变与保守内力无关； 下列对上述说法判断正确的是（ C ） （A）只有（1）是正确的 （B）（1）、（2）是正确的 （C）（1）、（3）是正确的 （D）（2）、（3）是正确的 3-2
有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则（ D ） （A）物块到达斜面底端时的动量相等 （B）物块到达斜面底端时的动能相等
（C）物块和斜面（以及地球）组成的系统，机械能不守恒 （D）物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒 3-3
对功的概念有以下几种说法：
（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；
（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；
（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 下列对上述说法中判断正确的是（ C ） （A）（1）、（2）是正确的 （B）（2）、（3）是正确的 （C）只有（2）是正确的 （D）只有（3）是正确的 3-4
如图所示，质量分别为m1和m2的物体A和B，置于光滑桌面上，A和B之间连有一轻弹簧，另有质量为m1和m2CADB的物体C和D分别置于物体A与B之上，且物体A和C、
B和D之间的摩擦因数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧被压缩，然后撤掉外力，则在A和B弹开的过程中，对A、B、C、D以及弹簧组成的系统，有（ D ） （A）动量守恒，机械能守恒 （B）动量不守恒，机械能守恒
（C）动量不守恒，机械能不守恒 （D）动量守恒，机械能不一定守恒 3-5
如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出。以地面为参考系，下列说法中正确的说法是（ C ）
（A）子弹减少的动能转变为木块的动能 （B）子弹-木块系统的机械能守恒
（C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功
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