10级应用数学本1、2班《普通物理（含实验）B》 第五版 动量守恒定律和能量守恒定律
（D）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热 3-8
Fx?30?4t（式中Fx的单位为N，t的单位为s）的合外力作用在质量为m?10kg的物
体上，试求：（1）在开始2s内此力的冲量I；（2）若冲量I?300N?s，此力作用的时间；（3）若物体的初速度v1?10m?s，方向与Fx相同，在t?6.86s时，此物体的速度v2。 解： Fx?30?4t，m?10kg （1）由定义，得开始2s内此力的冲量
I??1?20Fdt??20(30?4t)dt?30t?2t|0?68N?s
22（2）设从开始到t秒内此力的冲量为I?300N?s 则有 I??t0Fdt??t0(30?4t)dt?30t?2t?300
2解得 t?6.86s（舍去t??21.86s） （3）由动量定理，得 I?mv2?mv1
由上可知， t?6.86s时I?300N?s， 所以，得 v2? 3-11
如图所示，在水平地面上，有一横截面S?0.20m的直角弯管，管中有流速为v?3.0m?s的水通过，求弯管所受力的大小和方向。 解：
如图所示，稳定流动时，在dt时间间隔内从管里流出的水的质量为：dm??Svdt，
管的弯曲部分AB的水的动量的增量为：
?????dP?dm?vB?dm?vA??Svdt?(v?i?v?j)，
VAFVSFoBxy2?1I?mv1m?40m?s?1
则根据动量定理，得管在dt内对水的冲量为：
??????I?dP?dm?vB?dm?vA??Svdt?(v?i?v?j)
而依据冲量的定义，得管在dt内对水的平均冲力为：
????F?I/dt??Sv?(v?i?v?j)，
故水流对管的作用力为：
????F???F???Sv?(v?i?v?j)，
6
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其大小为：F??2?Sv?2.5?10N，方向如图所示。
23 3-15
一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平面上。如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。是试证明：在绳下落的过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳的重量的三倍。 解：
o如图所示，设开始时绳的上端在原点O，绳的总长为l，总质量为m，在t时刻时落在桌面上的绳长为y，其质量为m??myl。
???m?受力情况如图所示，其中P?m?g?j为重力，FN为桌面的?支撑力，F为下落的绳子部分对它的冲力。
yFydydPFNdm根据力的平衡条件有：
(mygl)?F?FN?0
在dt时间间隔内落到桌面的线元dy的速度由v（??可忽略dy的重力dP的影响，则根据动量定理得：
F?dt?0?mdylFP2gy）变为0，因F???dP，故
?v ml?v 而 F??F? myglmvl22整理上式，得：F???故由上几式得：FN?F???mygl?2mygl?mygl?3mygl?3m?g，
所以，任意时刻桌面所受压力的大小为：
??FN?3m?g FN
3-19
一物体在介质中按规律x?ct作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0?0运动到x?l时，阻力所做的功。（已知阻力系数为k） 解：
依题意，得阻力为：
F??kv??k(23dxdt)??9kct
224所作的功为：
7
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W??x:0?l??F?dx?l0?x:0?lFdx?277?x:0?l(?9kct)dx
24??9kc2/3?x4/3dx??kc2/37/3l
3-23
如图所示，A和B两板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k） 解：
选板A、板B、弹簧和地球为同一系统，则该系统在外力F撤去后不受外力作用，且无非保守内力，故此后的运动过程中系统的机械能守恒。
设原点O处的重力势能和弹性势能为零，外力F撤去的一瞬间为初状态，A跳到最高点时为末状态，则根据能量守恒定律，有：
1212ky1?m1gy1?212ky2?m1gy2
2yy2Oy1F1FP1m1P1BAF2故将上式整理，有：
k(y1?y2)?m1g(y1?y2) ， 12k(y1?y2)?mg 122即：
m2F2P2又因为 F1?ky1，F2?ky2，P1?m1g，
所以：F1?F2?2P1 ，另从图中可知：F1?P1?F 由上面几式，得：F?P1?F2 ，在末状态时，B板刚被提起，则要求：F2??P2， 而 P2?m2g，F2??F2，所以，得： F?P1?F2??(m1?m2)g 。 [或 （弹簧振子的简谐振动） 撤外力F前，F?m1g?kx
撤外力F后，A受合力大小为F，方向向上，系统只受保守力作用，故机械能守恒， 且A作简谐振动；A在最高处受合力大小仍为F，方向向下，此时设弹力为 F弹 ， 对A：F?m1g?F弹，对B：F弹?m2g，所以，得：F?m1g?F弹?(m1?m2)g 3-28
如图所示，把质量m?0.20kg的小球放在位置A时，使弹簧被压缩?l?7.5?10m，然后在弹簧的弹性力作用下，小球从位置A 由静止被释放，小球沿轨道ABCD运动。小球与
?CD为半径r?0.15m的半圆弧，AB相距为2r。求弹簧劲度系轨道间的摩擦不计。已知B?2 8
10级应用数学本1、2班《普通物理（含实验）B》 第五版 动量守恒定律和能量守恒定律
数的最小值。
解：设小球要沿ABCD运动，通过最高点C时的最小速率为vC，此时轨道对小球的支持力为零，故有：
mg?mvCr2CB2r，
rD0A另设A点的重力势能为零，则根据机械能守恒定律，得：
12k(?l)?2212mvC?mg?3r，
?12故解得：k?7mgr(?l)?366N?m
3-37
如图所示，质量分别为m1?10.0kg和m2?6.0kg的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy平面上，在图示的外力F1?(8.0N)i和
??F2?(6.0N)j的作用下运动。试求：（1）它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总
??动量与时间的函数关系。 解：
（1）如图所示，在t?0时系统的质心坐标为
xC0?m2x20m1?m2m1y10m1?m2?1.5m
yF1A3mBO4mF2xyC0??1.9m
对小球及杆整体应用质心运动定律，有
F1?(m1?m2)dvCxdtdvCydt
F2?(m1?m2)
变换并积分，有
??t0t0F1dt?F2dt?dxCdt?vx0vy0(m1?m2)dvCx (m1?m2)dvCy F1dyCdtF2m1?m2??解出： vCx?再变换并积分
m1?m2t， vCy??t
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10级应用数学本1、2班《普通物理（含实验）B》 第五版 动量守恒定律和能量守恒定律
xtyt?CxdxF1C?dy2C?FC0m1?m?0tdt，?Cy2C0m?0tdt
1?m2解出： x?F12C?xC02(mt2?1.5?0.25t
1?m2)yF222C?yC0?2(mt?1.9?0.19t
1?m2)（2）应用动量定理并考虑到系统的初动量为零，得t时刻系统的总动量为?t??p???p??0(Ft?(8.0t)?i?(6.0t)?1?F2)dj
【或直接按定义求解：
?p??m?v??v?ivi?m?C?(m1?m2)(vCxi?Cyj)
?(8.0t)?i?(6.0t)?j
10
】