由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
1g(z)在内D1解析，故
z0为
1f(z)的m阶极点.
《复变函数》考试试题（七）参考答案
一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题：1. ei 2. z??1 3. 2?i 4. 1 6. m?1阶 7. 整函数 8. ? 9. 0 三、计算题： 1. 解：(1?i2)2?(1?i2)2?i?i?0.
2. 解：?1?i?2?3,
?f(z)?1f(?)2?i?C??zd? 2 ??3??7??1C??zd?.
因此 f(?)??2i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).
??zn3. 解：
ezn?0n!z2?z2?1z2?1z?12??,
因此Res(f(z),0)?1. 4. 解：
z1(z?1)(z?2)??z?1?2z?2??1?1
z(1?1z)1?z2 由于1?z?2，从而
1zz?1,2?1.
因此在1?z?2内
26
5. 1 10. 1(n?1)!
有
z(z?1)z(???1?1nzn1n1???()?()???[(?)?2)zn?0z2zn?0n?0z?(n )].25．解：设z?x?iy, 则w?z?1z?1,?x?1?iyz?1?iy?(x2?y2?1)?2yi(x?1)2?y2.
.
?Rew?i?x2?y2?1(x?1)?y22Imw?2y(x?1)?y226.解：设z?e，则d???2?01(z?)，
iz2zd?dz22idz ?????z?1izz?1z2?2az?11a?cos?2a?z?z,cos??dz12?a?1，故奇点为z0?a?1?a
?2?d?a?cos?0?4??Resf(z)?4??z?z012a2?1?2?a2?1.
四、证明题：
2.证明：设f(z)?u?v?c，则
22
2u?ux?2v?vx?0,2u?uy?2v?vy?0.
已知f(z)在区域D内解析，从而有ux?vy,将此代入上上述两式得
uy??vx
uux?vuy?0,uuy?vux?0.
因此有 ux?0,uy?0, 于是有vx?0,vy?0. 即有 u?c1,v?c2,故f(z)在区域D恒为常数.
3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)g(z)，
27
mf(z)?c1?ic2
其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
1f(z)?1(z?z0)mg(z)?1
由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
1g(z)在内D1解析，故
z0为
1f(z)的m阶极点.
《复变函数》考试试题（八）参考答案
一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题：1. ?1?ei 2. z?0，? 3. 2? 4. ? 5. 1
6. 三、计算题： 1. 解：由于e所以
z?1?(iz)k=0?2k??0,n?1 7. ? 8. ? 9. 5 10. z??1
??2?i,n?1sinz在z?1解析，
?z?1ez?1sinzdz?0
1dz1dz11(z?4)而 ???2?i?z?3(z?1)(z?4)2?i?z?3(z?1)3因此?z?1ez?1sinzdz?1. ???z?32?i(z?1)(z?4)31dz2. 解：?1?i? ?f(z)?2?3,
2?i?C??z1f(?)d? d?.
1) ??3?2?7??1C??z2?i(?3??7? 因此 f(?)?2 故f(z)?2?i(3z?7z?1)
2 f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).
28
3. 解：f(z)?ezz2?1?ez2z?1,e(1?1z?1)
e Res(fz(),?1)2e?1sRfez(?(?)?,1)
2e?122,因此 Res(f(z),?)??(?2)?e?1?e2.
4.解：
z?10(z?1)(z?2)2??11z?11z?11z?12z?22z2??111z1?z?1?11z?12z2?121?2z
由于2?z???，从而?1,?1
因此在2?z???内有
z?10(z?1)z(2?11?1????()n?2)zn?0zz?1z?1,z1?1z?2??(n?0z?1?2n22?)???n0zn11)?n1 11(2()?[?n2z(?11?1z2)]5．解：设z?x?iy, 则w?x?1?iyz?1?iy(x2?y2?1)?2yi(x?1)?y.
22.
?Rew?x2?y2?1(x?1)2?y2ixImw?2y(x?1)2?y26．解：设z?e, 则dz?iedx?izdx
ix1(z?) 2iz?dx12?dx??02?sin2x2?02?sin2x 112izdz ?? ?2dz??z?1z2?4iz?12z?1izz?4iz?11在z?1内2只有z?(3?2)i一个一级极点
z?4iz?1sinx?Res[f(z),(3?2)i]??dx2?sinx21i23.
因此 四、证明：
??0?2?i??i23??3 29
2. 证明：因为f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，在D内连续, 所以?(x0,y0)?D,
???0,???0.
当x?x0??,y?y0??时有
f(x,y)?f(x0,y0)?u(x,y)?u(x0,y0)?i[v(x,y)?v(x0,y0)]
?{[u(x,y)?u(x0,y0)]?[v(x,y)?v(x0,y0)]}??, 从而有u(x,y)?u(x0,y0)??, v(x,y)?v(x0,y0)??.
即与在连续，由(x0,y0)?D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)g(z)， 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
m21221f(z)?1(z?z0)mg(z)?1
由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
1g(z)在内D1解析，故
z0为
1f(z)的m阶极点.
《复变函数》考试试题（九）参考答案
一、判断题（20分）
1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√
二、填空题（20分）
1、e?zi 2、z?k?,k?0,?1,?2,? 3、2? 4、1 5、1
6、m?1 7、整函数 8、c 9、8 10、e 三、计算题（30）
1、解：?2?i6?56?1,?lim(n??2?i6)n?0.
2、解：?1?i?2?3,
30