高中数学函数最值问题的常见求解方法
最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．为帮助同学们探索这类型问题的解题规律，指导高考复习，本文将这类问题作一个简单归纳． 一、配方法
例１：当?1?x?0时，求函数y?2x?2?3?4x的最大值和最小值． 解析：y??3(2?)?xymin?1，ymax2241x，当?1?x?0时，?2?1．显然由二次函数的性质可得
3324?． 3二、判别式法
对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知y2?4xy?4x2?2x?1?0，求y的最值．
解析：由已知，变形得4x2?2(2y?1)x?(y2?1)?0，x?R，则??0，即有
4(2y?1)2?16(y2?1)?0 故 y?因此 ymax?5． 45，无最小值． 422例3：若x、y?R且满足：x?y?2xy?x?y?0，则xmax= ymin= 解析：由已知，变形得：y?(2x?1)y?(x?x)?0，y?R，则??0，即有
22(2x?1)2?4(x2?x)?0，于是?8x?1?0，即 x?2211．即 xmax?． 88同理，x?(2y?1)x?(y?y)?0，x?R，则??0，即有
11(2y?1)2?4(y2?y)?0，于是8y?1?0，即 y??．即 ymin??．
88注意：关于x、y的有交叉项的二元二次方程，通常用此法
5x2?43x?1例4：已知函数y?，求y的最值． 2x?1解析：函数式变形为：(y?5)x2?43y?(y?1)?0，x?R，由已知得y?5?0，
???(?43)2?4(y?5)(y?1)?0，即：y2?6y?7?0，即：?1?y?7．
因此 ymax?7，ymin??1． 例5：已知函数y?解析： y?ax?b(x?R)的值域为[?1,4]，求常数a,b x2?1ax?b22?yx?y?ax?b?yx?ax?y?b?0 2x?1∵x?R ∴??(?a)2?4y(y?b)?0，即4y2?4by?a2?0
由题意：y?[?1,4]?(y?1)(y?4)?0?y2?3y?4?0?4y2?12y?16?0
2所以4b?12，a?16，即b?3，a??4
注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x的二次函数F(x,y)?0，通过方程有实根，判别式??0，从而求得原函数的值域或参数的值.形如
a1x2?b1x?c1(a1、a2不同时为0)，常用此法求得 y?2a2x?b2x?c2例6：在0?x??2条件下，求y?sinx(1?sinx)的最大值．
(1?sinx)2解析：设t?sinx，因x?(0，
?t(1?t))，故 0?t?1，则y? 22(1?t)即 (1?y)t?(2y?1)t?y?0
2因为 0?t?1，故y?1?0，于是??(2y?1)?4y(y?1)?0 即 y?21 8将y?111代入方程得 t??[0，1]，所以ymax? 8382注意：因??0仅为方程(1?y)t?(2y?1)t?y?0有实根t?[0，1]的必要条件，因此，必须将y?1代入方程中检验，看等号是否可取． 8三、代换法 (一)局部换元法 例7：求函数y?x2?px?42的最值．
解析：令t?x?4，则t?2，函数y?2x2?px2?4?t?p?4 t当p?8时，y?t?p?4?2p?4，当t?tp?4时取等号
p?4p?4)?(t2?)＝(t1?t2)? t1t2当p?8时，令2?t1?t2，则y1?y2?(t1?p?4p?4(t2?t1)＝(t1?t2)(1?)，因为 2?t1?t2，p?8，即有
t1t2t1t2y1?y2?(t1?t2)(1?故 y?2?p?4p?4在[2，??)内递增． )?0，所以y?t?tt1t2p?4p? 22所以 当p?8时，ymin?2p?4，无最大值； 当p?8时，ymin?p，无最大值． 2例8：求函数y?x?1?2x的最值．
解析：设t?1?2x (t?0)，则由原式得y??时取等号．故ymax?1，无最小值． 例9：已知0?a?1(t?1)2?1?1当且仅当t?1 即x?022,求函数y?(sinx?a)(cosx?a)的最值．
2解析：y?sinxcosx?a(sinx?cosx)?a 令sinx?cosx?t
1t2?122则 ?2?t?2且sinxcosx?，于是y?[(t?a)?a?1]
22112；当t??a时，ymin?(a?1)． 22注意：若函数含有sinxcosx和sinx?cosx，可考虑用换元法解．
当t?2时，ymax?a2?2a?(二)三角代换法(有时也称参数方程法)
2222例10：已知x、y?R，1?x?y?4．求u?x?xy?y的最值．
解析：设x?tcos?，y?tsin?，(t为参数)
因 1?x2?y2?4，故 1?t?4
21?u?t2(cos2??cos?sin??sin2?)?t2(1?sin2?)
222故当t?4且sin2??1时，umax?6；当t?1且sin2???1时，umax?1． 2例11：实数x、y适合：4x2?5xy?4y2?5，设S?x2?y2，则
1Smax+
1Smin=____
解析：令x?Scos?，y?Ssin?，则
4S?5Scos?sin??5
55 S??54?5sin?cos?4?sin2?2510510当sin2??1时，ymax??；当sin2???1时，ymin??．
535134?4?22所以
1Smax?1Smin?3138??． 1010522例12：求函数y?(a?x)x (|x|?a)的最值．
解析：令x?acos?，则y?asin2422??acos??a3sin2?cos?
22又令t?sin?cos?，则t?sin?cos??12sin??sin2??2cos2? 21sin2??sin2??2cos2?34)? ?(
2327??2323233233 即有 ??t?a?y?a
9999233233a，ymin??a 99所以ymax?注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”
22例13：已知x、y?R且3x?2y?6x，求x?y的最值．
x?1?cos??y2?解析：化3x?2y?6x为(x?1)? ?1，得参数方程为?6y?sin?32?2?222
?x?y?1?cos??610sin??1?sin(???) 221010，(x?y)min?1?． 221． 8故 (x?y)max?1?(三)均值换元法
44例14：已知a?b?1，求证：a?b的最小值为
解析：由于本题中a、b的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我
11?t，b??t，(t?R)，则 221111a4?b4?(a2?b2)2?2a2b2?[(?t)2?(?t)2]2?2(?t)2(?t)2
2222112222 ?(?2t)?2(?t)
24112244 ?(?2t?4t)?(?t?2t)
481124 ??3t?2t?
881144∴a?b的最小值为．在t?0即a?b?时取等号
82们可以令a?四、三角函数有界法
对于x?R，总有|sinx|?1，|cosx|?1 例15：求函数y?sin2x?2cosx的最值． 解析：y?sin2x?2cosx?sin2x?cos2x?1?因为 |sin(2x?当sin(2x?222sin(2x?)?1
4??4)|?1，故
?)?1时，ymax?2?1；当sin(2x?)??1时，ymin??2?1． 44?五、均值不等式法
例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．
解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，面积为S，三角形内一点P到三边的距离分别为x、y、z
?ax?by?cz?2S(定值) ?ax?by?cz?(ax?by?cz3)
38S3即 xyz? (ax?by?cz时取等号)
27abc