因此，当此点为三角形的重心时(这时?PAB、?PBC、?PAC面积相等)，它到三边之积为最大．
例17：有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为x cm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
解析：依题意，矩形盒子底边长为(30?2x) cm，底边宽为(14?2x) cm，高为x cm．
?盒子容积V＝(30?2x)(14?2x)x?4x(15?x)(7?x)x (显然：15?x?0、7?x?0、
x?0)
设V?4(15a?ax)(7b?bx)x (a?0，b?0) 要用均值不等式．则 ab?a?b?1?0?13a?b? 解得：，，x?3．从而 ?44?15a?ax?7b?bx?xV?6415x213x(?)(?)x?576 344443故矩形盒子的最大容积为576 cm． 也可：令V?44(15a?ax)(7?x)bx或V?(15?x)(7a?ax)bx abab注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵
活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求． 例18：已知sin2??sin2??sin2??1(?、?、?均为锐角)，那么cos?cos?cos?的
最大值等于__________
解析：因?、?、?均为锐角，所以cos?cos?cos??cos2?cos2?cos2?
cos2??cos2??cos2?31?sin2??1?sin2??1?sin2?326 ?()?()?339当且仅当sin??sin??sin??2221时取等号，故cos?cos?cos?的最大值为326． 9ab??的最小值(a、b?R)． 22sinxcosxab?解析： y??a?acot2x?b?btan2x?a?b?2abtan2xcot2x 22sinxsinx例19：求函数y? ?a?b?2ab
当且仅当actg2x?btg2x 即 tgx?2a时，函数y取得最小值a?b?2ab b六、单调性法
(一)利用若干次“?”(或“?”)求函数的最值 例20：求函数y?11??在(0，)内的最小值． sinxcosx2解析：y?当x?11sinx?cosx222?????22 sinxcosxsinxcosxsinxcosxsin2x?4时，sinx?cosx，sin2x?1．上式中的两个 “?”中的等号同时成立，所以
y?22是 “精确的”不等式．因而 ymin?22
另：此题还可用换元t?sinx?cosx以及函数单调性来判断 (二)形如y?xb?的函数的最值 ax(1) a?0，b?0时，函数在(??，?ab］内递增，在[?ab，0)内递减， 在(0，ab］内递减，在[ab，??)内递增． (2) a?0，b?0时，函数在(??，?ab］内递减，在[?ab，0)内递增， 在(0，ab］内递增，在[ab，??)内递减． (3) a?0，b?0时，函数在(??，0)内递减，在(0，??)内递减． (4) a?0，b?0时，函数在(??，0)内递增，在(0，??)内递增．
1的最值．
16sin2xcos2x11222?sin2x?解析：函数y?4sinxcosx?
16sin2xcos2x4sin22x11124令t?sin2x，则t?[0，1]，于是 y?t?在(0，]内递减，在[，1]内递增．
t221122所以当t?，即sinxcosx?时，ymin?1；无最大值．
82例21：求函数y?4sinxcosx?222sinx?cos2x例22：求函数y?的最大值．
1?sinx
sin2x?2sinx?1(sinx?1)2?2?2??(sinx?1)?() 解析：y?sinx?1sinx?1sinx?1令sinx?1?t，则0?t?2，函数y?t??2在(0，??)内递增．所以在(0，2]内也t是递增的．当t?2，即sinx?1时，ymax?1． 七、平方开方法
例23：已知a、b是不相等的正数，求函数y?的最值．
解析：因a、b是不相等的正数，cosx与sinx不能同时为０，故y?0．
acos2x?bsin2x?asin2x?bcos2x(a?b)2?y?a?b?2sin22x?ab
42当sin2x?1时，y2max?2(a?b)，ymax?222(a?b)
a?b
当sin2x?0时，y2min?a?b?2ab，ymin?八、数形结合法
有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效． 例24：求函数y?4sinx?1的最值．
3cosx?6114(sinx?)sinx?4，只需求函数u?4的最值． 解析：将函数式变形为y?3(cosx?2)cosx?2把u看成两点A(2，)，B(cosx，sinx)连线的斜率，(B即为单位圆上的点)， 则当直线AB为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．
设过A点的单位圆的切线方程为y?1411?k(x?2)，即 kx?y??2k?0． 441?2k|35?1，解得：k1?，k2??．从而函数 则圆心到切线的距离为44121?k2|最大值为ymax?43455??1；最小值为ymin??(?)??． 343129九、利用二次函数的性质
例25：设x?0，y?0且x?2y?12，求当x、y为何值时，u?log1(8xy?4y?1)取
32得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由x?2y?11，得x??2y 221?u?log1[8(?2y)y?4y2?1]?log1(?12y2?4y?1)
3321142由x?0，y?0且x?2y?可得0?y?，从而1??12y?4y?1?(当y?0时
2341左边取“=”号，y?时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即
61141当x?、y?时，umin?log1()；当x?、y?0时，umax?0．
33662例26：求函数y?3cosx?2?cos2x的最值．
解析：y?31?cos2x?3cosx?1??2(cosx?)2?
481?cosx?1． 2要使y有意义，必须有?cos2x?3cosx?1?0，即
故 当cosx?3112时，ymax? ；当cosx?(或1)时，ymin?0. ?4284例27：求函数y?2?4msinx?cos2x的最值．
解析：y?2?4msinx?(1?2sinx)?2(sinx?m)?1?2m 因为|sinx|?1，结合二次函数图象及其性质：
当m?(??，?1]时，ymax?3?4m，ymin?3?4m． 当m?[?1，0]时，ymax?3?4m，ymin?1?2m． 当m?[0，1]时，ymax?3?4m，ymin?1?2m． 当m?[1，??)时，ymax?3?4m，ymin?3?4m． 十、放缩法
?例28：若a、b、c?R，且a?b?c?3，则a?1?b?1?c?1的最大值是（ ）
22222解析：a?1?2?(a?1)?2a?3? 22
同理，b?1?2?b?3c?3，c?1?2?． 22a?3b?3c?3???6 222三式相加，a?1?2?b?1?2?c?1?2?即
a?1?b?1?c?1?32
c?1?2 即a?b?c?1时取等号．
当且仅当a?1?b?1?十一、导数法
例29：求函数f(x)?x3?x2?x?3在[?3,3]上的最值
/2解析：f(x)?3x?2x?1?(3x?1)(x?1)?0，得x?1或x??1 3122f()?2，f(?1)?4，f(?3)??12，f(3)?36 327所以函数最大值为36，最小值为?12
注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视． 例30：求函数f(x)?2x?1?6?x的最值 解析：函数的定义域为[1,6],f(x)?/1x?1?126?x
f/(x)?0?1?x?5；f/(x)?0?5?x?6，又f(x)是[1,6]上的连续函数
故有f(x)在[1,5]上递增，在[5,6]上递减．f(1)?5，f(5)?5，f(6)?25 故函数最大值为5，最小值为5
当然，解最值问题的方法远远不止这些，例如，还有复合函数法，反函数法等等，这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳．就是一道题目里面，有时也是几种方法并用，如例7就用到了换元法和单调性法，例12就用到了三角换元法和重要不等式法，例17用导数法甚至更为简单．解函数的最值问题，关键还在具体问题，具体分析，具体处理．