初等数学方法建模
A???A1?0A2?A3??B?AT 1101?0111??0010??0000?0000???0?0?A2??1??0??10000?0000??0000??0000?0100???0?0?A3??0??0??00011?0110??0011?
?0001?0000???0?0?其中 A1??0??0??0
其中A表示从南岸到北岸渡河的图的邻接距阵，B?AT表示从北岸到南岸渡河的图的邻接距阵。 由定理1、我们应考虑最小的k，s?tk(AB)kA 中1行10列的元素不为0，此时2k?1即为最少的
渡河次数，而矩阵(AB)A中1行10列的元素为最佳的路径数目。
经过计算K=5时, (AB)A的第1行10列元素为2，所以需11次渡河，有两条最佳路径. 最后我们用图解法求解：
前面我们已求出问题的10种允许状态，允许决策向量集合D??(u,v):u?v?1,2?,状态转移方程为
5Sk?1?Sk?(?1)kdk , 如图2—3，标出10种允许状态，找出从s1经由允许状态到原点的路径，该路径还
要满足奇数次向左，向下；偶数次向右, 向上.
图2--3
由图2—3可得这样的过河策略，共分11次决策 （3，3） 去一商一随
回一商
（2，2） 去二商
（3，2）
去二随
回一随
（3，0）
去二随
（3，1）
去二商
（1，1）
回一商一随
回一随
回一随
（2，2）
（0，2）
（0，3）
（0，1）
（0，2）
去二随
（0，0）
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思考题：1、在商人过河中若有4名商人，各带一随从能否过河？
2、夫妻过河问题：有3对夫妻过河，船最多能载2人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他男子在一起，如何安排三对夫妻过河？若船最多能载3人，5对夫妻能否过河？
3、量纲分析法
量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi定理
许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l, 质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记为
?l??L,?m??M,?t??T; 而速度v，力f的量纲可表示为?v??LT?1,?f??MLT?2.
在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L、M、T、I、?、J、和N；称为基本量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
?q??LMTI?NJ
???????量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例3—1： 单摆运动，质量为m的小球系在长度为l的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有t,m,l,g设它们之间有关系式
?1?2?3t??m1lg
---------------（3.1）
其中?,?2,?3为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有
?t???m???l???g??123 整理得：T?M1L??2??3T?2?3 --------------（3.2）
由量纲齐次原则应有
??1?0???2??3?0 ---------------（3.3） ??2??13?解得：?1?0,?2?1,2?3??1, 代入（3．1）得 t??2lg -------（3.4）
（3.4）式与单摆的周期公式是一致的
下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理， 定理：设n个物理量x1,x2,??,xn之间存在一个函数关系
f?x1,x2,??,xn??0 --------------（3.5）
?x1????xm?为基本量纲，m?n。x1的量纲可表示为
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[xi]??[xj]j?1m?iji?1,2,??,n
矩阵A?(?ij)n?m称为量纲距阵，若RankA?r,则（3.5）式与下式等价，
F(?1?2???n?r)?0
其中F为一个未定的函数关系，?s为无量纲量，且?s可表示为
而?(s)?s??xii?1n?i(s) -----------(3.6)
(s)(s)?(?1(s)?2???n)为线性齐次方程组AT??0的基本解向量.
利用Pi定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量?1?2???n?r, 作为量纲分析法的应用，下面我们介绍航船阻力的建模.
3．2 航船的阻力，
长l吃水深度h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，航船受到的阻力f除依赖于船的诸变量
l、h、v以外，还与水的参数——密度P，粘性系数?, 以及重力加速度g有关。
我们利用pi定理分析f和上述物理之间的关系 1． 航船问题中涉及的物理量及其量纲为
???????????[f]?LMT?2[l]?L[h]?L [v]?LT?1[?]?L?3M[?]?L?1MT?1[g]?LT?2我们要寻求的关系式为
?(f,l,h,v,?,?,g)?0 ---------------（3.7）
这些物理量中涉及到的基本量纲为L、M、T 2． 写出量纲距阵
?1111?3?11?L??M T110 A?1000?????200?10?1?2??TrankA?3
A?4 个基本解向量 3． 解齐次线性方程组A??0 , 可得 n?rankT
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??? ??????? ?????(1)?(0、1、?1、0、0、0、0)T?(2)?(0、1、0、?2、0、0、1)T (3)T??（0、1、0、1、1、?1、0）T?(4)?（1、?2、0、?2、?1、0、0）?1?lh?1?2?lv?2g - -------------------（3.8） ?1?3?lv???4?fl?2v?2??1由（3.6）式，可给出4个无量量纲
由Pi 定理，（3.7）等价于下列方程 ?(?1,?2,?3,?4)?0 -------------------（3.9） 这里?是未定的函数
由（3.８）,（３.９）可得阻力f的显式表达式，
22 f?lv??(?1,?2,?3) -------------------（3.10）
其中?是由（３.９）可得到的未知的函数关系,在力学上,
vlg 称为Froude数，记为Fr ;
lv??称为
Reynold数，记为Re , 因此（3.10）又可写为
f?l2v2??(lh,Fr,Re) ------------------（3.11）
4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
?、?、g和f?、l?、h?、v?、??、??、g?分别表示模型和原型中的各物理量, 设:f、l、h、v、由(3.11)有
f?lv??(22lvlv?l?v?l?v???,,) f??l?2v?2???(,,)
??h?h???lglgvlg2当无量纲量
ll??hh??v?l?g?lv???l?v??? -------------------（3.12） ??f??l?v????成立时 , 可得 --------------------（3.13） ???f?lv??则此时由模型船的阻力f，及其它的l、v、?、l?、v?、??；可确定原型船的阻力f?.
下面,我们讨论一下(3.12)成立的条件,如果在实验中采用跟实际同样的水质,则 p??p,????;又
g?g?
ll?故可得 ： ?hh?v?v?ll?vl?? ---------------------------（3.14） v?l要使得(3.14)成立 , 必有l?l?,h?h?；也即模型船与原型船一样大，这显然排除了物理模拟的可
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行性。若考虑选用不同的水质，s?t????,仍设 ???? 则(3.12)式化为
vl???? ---------------------（3.15） v?l??
ll??hh?vl?v?l?32由(3.15)可得
??l???? , ???l??若按1：20的比例，??0?011??，显然无法找到如此小的粘性系数的液体 实际上的一种近似处理方法是，在一定条件下Re数的影响很小，这样可近似得到， f?lv??(22lv,) hlg类似地分析，只要
ll??hh?3v?v?l 即有 l?f??l?? ??? ----------------（3.16） f?l?由（3.16）式就容易确定原型船的阻力f?
3.3 无量纲化 抛射问题
下面我们通过一个例子,介绍如何使用无量纲化方法简化模型。
抛射问题：在某星球表面以初速度v竖直向上发射火箭，记星球半径为r，星球表面重力加速度为g，忽略阻力，讨论发射高度x随时间T的变化规律.
模型建立：设x轴竖直向上，t?0 时 x?0，火箭和星球质量分别记为m1和m2，由牛顿第二定律和万有引力定律可得:
???kx m1?以x(0)?0,m1m2 -----------------------（3.17）
(x?r)2??(0)??g 代入（3.17）可得 km2?gr2 x故得如下初值问题
??? ????r2g????x(x?y)2 ----------------------（3.18） x(0)?0?(0)?vx(3.18)式的解可以表为 x?(t、r、v、g) 也即发射高度是以 r、v、g 为参数的t的函数,下面我们采用无量纲化方法化简方程（3.18）,
显然抛射问题中的基本量纲为 L,T; 而[x]?L[t]?T[r]?L[v]?LT?1[g]?LT?2
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