初等数学方法建模
所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的x和t分别构造且有相同的参数组合xc和tc，使得新变量 x?xx0t?t t0为无量纲量，其中 xc,tc 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对 t的微分方程，
即可简化模型，如何寻找特征尺度，这里我们以tc为例，首先写出参数r、v、g的量纲距阵A A??1??11?
0?1?2??t的量纲向量为 (0,1)T 记为 : ?0
求解线性方程组 A???0 得通解: ??(1,?1,0)?k(1,?2,1)
?1任取k，即得到一种特征尺度，例如 k?0 得 tc?rv;TTk??1得 tc?vg?1;k??1得2tc?rg?1 同理可得x的几种特征尺度r,v2g?1等
以下，我们利用不同的xc和tc化简（3.18） 1. 令 xc?r,tc?rv?1; 则x?xr,t?trv?1
v2d2xdx????v , ?x由 x 2rdtdt代入(3.18)可得:
21v?????x,??2rg(x?1) ----------（3.19） x(0)?0?(0)?1x??? ????(3.19)式的解可表为 x?x(t,?),含一个独立参数且?为无量纲量. 2. 令 xc?r, tc?rg?1 , 类似地可将(3.18)化为 :
1,(x?1)2 ---------------（3.20） x(0)?02v?(0)??,??xrg????x
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???????
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2?1?13. 令 x0?vg,t0?vg;可将(3.19)化为
??? ????21v?????x,??2rg(?x?1) ---------------（3.21） x(0)?0?(0)?1x按照现有科技能力, v??rg?8000米秒,
????1,在（3.21）中令??0，则有
???1??x? ?x(0)?0 ------------------------（3.22）
?x??(0)?1t2?t , (3.22) 的解为: x(t)??2代回原变量 得: x(t)??12gt?vt , ------------------------（3.23） 2(3.23)式恰为假定火箭运动过程中所受星球引力 不变的运动方程。
小结：无量纲化是用数学工具研究物理问题时常用的方法，恰当地选择特征尺度不仅可以减少参数的
个数，而且可以帮助人们决定舍弃哪些次要因素
第四节 比例与函数建模
本节介绍的几个模型,都是利用基本的比例关系与函数建立起的数学模型。
4.1 动物体型问题
问题： 某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重？
模型假设：
1． 将四足动物的躯干（不含头尾）视为质量为m的圆柱体，长度为l，截面面积s，直径为d
如图4-1
图4-1
2． 把圆柱体的躯干看作一根支撑在四肢上的弹性梁，动物在体重f作用下的最大下垂为?，即梁的
最大弯曲，根据弹性力学弯曲度理论，有:
fl3??2 --------------------------（4.1）
sd
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3． 以生物进化学的角度，可认为动物的相对下垂度模型建立：
??已达到一个最合适的数值，也即为常数 ll?s??d24 ; f??d24l - -----------------------（4.2）
fl3由（1）式 可令 ??k1 k1为比例常数
sd2由（2）式 sd? ???k124?221421(dl)?2?f?2 ------------------------（4.3） ?4?ll?l54f
?f??4k1?4l5?k1?l?4k1l??l4
令 k?? 由假设3，k为常数
?f?kl4 ------------------------（4.4）
因此生猪的体重与体长的四次方成正比，在实际工作中，工作人员可由实际经验及统计数据找出常数K，
则可近似地由生猪的体长估计它的体重。
4．2 双重玻璃的功效
问题： 房间居室的窗户有的是双层的，即在窗户上装两层玻璃，且中间留有一定的空隙，试比较双层玻璃窗与单层玻璃窗的热量流失？
模型假设：1。设双层玻璃窗的两玻璃的厚度都为d，两玻璃的间距为L；单层玻璃窗的玻璃厚度为2d，
所用玻璃材料相同，如图4-2
2．假设窗户的封闭性能很好，两层玻璃之间的空气不流动，即忽略热量的对流，只考虑热量的传导.
3. 室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程处于稳定状态，即单位时间通过单位面
积的热量为常数
4. 玻璃材料均匀，热传导系数为常数.
图4-2
模型建立：
对于厚度为d的均匀介质，两侧温度差为?T，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧
通过单位面积的热量Q满足 Q?k??T k为热传导系数 d
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设玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2 （1） 先考虑单层玻璃的单位时间，单位面积的热量传导
Q1?k1?T1?T2 --------------------（4.5） 2d（2） 考虑双层玻璃情形
此时热量先通过厚度为d的玻璃传导到两层玻璃的夹层空气中，再通过空气传导，再通过
厚度为d的玻璃传导；设内层玻璃的外侧温度为Ta，外层玻璃的内侧温度为Tb;则有:
QT1?Ta2?k1d?kTa?TbT?T22l?kb1d ------------（4.6） 由（4.6）式可得
??Ta?Tb?T1?T2 ???T?T?k1lkd(TT ------------------（4.7）abb?2)2 记 s?k1lk 1d则 2Tb?T1?T2?s(Tb?T2) ------------------（4.8） 2(Tb?T2)?T1?T2?s(Tb?T2) - -----------------（4.9）
(Tb?T2)?12?S(T1?T2) -------------（4.10） Q1k12?(2?S)d(T1?T2) --------------（4.11） 考虑两者之比
Q2Q?2 ---------------（4.12） 12?s显然 Q2?Q1, 也即双层玻璃的热量损失较小.
模型分析与应用：
常用玻璃的热传导系数 k1?4?10?38?10?3Jcm?s?c ，
而不流通,干燥空气的热传导系数 k2.5?10?42?Jcm?s?c ，
若取
ld?h, 则 16h?S?32h , 故
Q2Q?1 ------------------（4.13） 11?8h
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若取 h?4， 则
Q21? 又此可见双层玻璃的保暖效果是相当可观的。 Q1331Q1 , h再大，33热量传递的减少就不明显了，再考虑到墙体的厚度；所以建筑规范通常要求 h?4 .
我国北方寒冷地区的建筑物，通常采用双层玻璃；由（4.13）式 h=4时, Q2?4.3 席位分配模型
问题：某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若学生会中学生代表有20个席位，则公平又简单的分法应各有10，6，4个席位。若丙系有6名学生分别转入甲、乙两系各3人，此时各系的人数为103，63，34；按比例席位分配应为10.3，6.3和3.4，出现了小数，19个整数席位分配完后，最后一席留给小数部分最大的丙系，分别为10，6，4。为方便提案表决，现增加1席共21席，按比例计算甲、乙、丙三系分别占有10.815，6.615，3.570；按上面的分法应分别为11，7，3；这样虽然增加了一个席位，但丙系的席位反而减少一席，因此这种分法显然是不合理的，请给出一个比较公平的席位分配方案？
问题分析： 席位分配问题，当出现小数时，无论如何分配都是不完全公平的。那么一个比较公平的分法是 应该找到一个不公平程度最低的方法，因此首先要给出不公平程度的数量化，然后考虑使之最小的分配方 案。
模型建立：
一、讨论不公平程度的数量化
设A，B两方人数分别为p1,p2；分别占有 n1 和 n1 个席位，则两方每个席位所代表的人数分别为
p1p 和 2 。 n1n2我们称
p1p2? 为绝对不公平值。例：p1?120,n1n2p2?100,n1?n2?10
则
p1p2??2 又 p1?1020,n1n2p2?1000,n1?n2?10 则
p1p2??2 n1n2由上例可知，用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准，并不合理，下面我们给出相对不公平值
p1p2?p1p2nn2pn?若 则称 1?12?1 为对A的相对不公平值， 记为 rA(n1,n2)
p2n1n2p2n1n2p2p1?p1p2nn1pn?若 则称 2?21?1 为对B的相对不公平值 ，记为 rB(n1,n2)
p1n1n2p1n2n1上例中，相对不公平值分别为：0.2 和 0.02，可见相对不公平值较合理。 二、 下面我们用相对不公平值建立模型，
设，A，B两方人数分别为 p1,p2 ；分别占有 n1 和 n1 个席位现在增加一个席位，应该给A还是
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