x(t) 1 -2 t 1 sin2?t的傅里叶变换R(j?)?j?[?(??2?)??(??2?)]
3sin?j1?2e2 X(j?)?2??(?)?2?由相乘性质可得：G(j?)?1R(j?)?X(j?) 2?3sin?j1?12e2} ?{j?[?(??2?)??(??2?)]}?{2??(?)?22??1j?4?j32?j?[?(??2?)??(??2?)]?2esin?
??4?22四、（15分）已知有限长实偶序列x[n]，其Z变换X(z)共有四个零点，其中一个零点在
1jz?e3，且x[0]?91。求x[n]。
3【考查重点】：这是第十章考点，考查根据相关信息求原序列。 【答案解析】：由于序列是实的，一个实序列的零点不是实的，那么零点一定是共轭成对的，
?11?j3所以可以得出另一个零点是z1?e ,又由于是偶序列x[n]?x[?n]?X(z)?X() 故
z3???jj11另外两个零点在z2??3e3,z3?的分子为?3e3 所以设X(z)zz1??j?j1j?1?j?333(z?e)(z?e)(z?3e)(z?3e3)
33??z4?10391210z?z?z?1 3931zA(z4?因为X(z)?X() 故设X(z)?103912z?z?1)39 2z?A(z2?109110?1?2z??z?z) 逆变换得： 393109110x[n]?A(?[n+2]??[n?1]??[n]??[n?1]??[n?2])
393将x[0]?91代入得A=9 所以：
x[n]?9?[n?2]?30?[n?1]?91?[n]?30?[n?1]?9?[n?2]
?e?j?五、（20分）已知一理想低通滤波器的频率响应为H(j?)???0截止频率。
（1）、将信号xp(t)?x(t)p(t)?cos(?0t)??????c，其中?c为
???c4?0k?????(t?kT)输入该滤波器，其中T??，
求xp(t)的频谱函数Xp(j?)；若要求此时滤波器的输出仅包含三个频率分量，?c应满足什么条件？并求此时滤波器的输出y(t)。
（2）、当输入信号x(t)?2e?tu(t)，若要求输出信号的能量是输入信号能量的50%，试确定
?c应具有的值。
【考查重点】：这是第四章考点，考查傅里叶变换，非周期信号的帕斯瓦尔定理、系统输出等知识点。
12?【答案解析】：（1）、Xp(j?)?{?[?(???0)??(???0)]}?2?T?k?????(??k?2?) T?0kk[?(?????)??(?????0)] ?0004k???22???02k?????(???0)
k?0,k?0,?1,?2??????处有值，如果输出只包含三个频率分量，这三个分2 所以
??k2 Xp(j?)在?=量为??02,0,?02?02??c??0 此时Y(j?)??02[?(???02)??(?)??(???02)]e?j?
逆变换得：y(t)??0?(t?1)(2cos0?1) 4?2T???T（2）输入信号的能量为E入=lim?T2e?tu(t)dt?2 所以输出信号的能量为1，
222e?j?X(j?)?,Y(j?)?X(j?)H(j?)?,???c
1?j?1?j?1输出信号的能量为
2?4????cc2e?j?4d??arctan?c 所以
?1?j?2?arctan?c?1?arctan?c??4??c?1
六、（25分）已知某LTI系统当输入x1(t)??cos5t???2?sin5t?u(t)时，零状态响应为5?y1(t)?kte?atu(t)；当输入x2(t)??(t)?3ebtu(?t)时，零状态响应为
y2(t)?2?t1eu(t)?(?3t)e2tu(?t)，这里a、b均为常数。 33（1）确定a、b和k的值；
（2）求该系统的系统函数H(s)及其收敛域； （3）求该系统的单位阶跃响应s(t)；
（4）判断系统的因果性和稳定性。
【考查重点】：这是第九章考点，考查系统函数和收敛域、单位阶跃响应、判断系统性质等知识点，
【答案解析】：（1）、由题可知X1(s)?s?2kY(s)? 1s2?5(s?a)23s?b?3k(s2?5)s2?5? 又 X2(s)?1? Y2(s)? ?H(s)?s?bs?b(s?a)2(s?2)(s?2)2(s?1)(s2?5)(s?b) 比较可知 a?1,b?2,k?1 ?H(s)?2(s?2)(s?1)(s?b?3)s2?5（2）、由第一问可得系统函数H(s)? 收敛域为?1?Re{s}?2
(s?1)2(s?2)1s2?5（3）、S(s)?X(s)? 逆变换得单位阶跃响应为 2ss(s?1)(s?2)51s(t)?(2te?t?2e?t?)u(t)?e2tu(?t)
22（4）、由收敛可知系统非因果，收敛域包括虚轴，所以系统稳定。
七、（25分）一因果离散LTI系统如图1所示：
1 x[n] ? 1 ? z?1 -1 ? z?1 1/2 ? 1 y[n] ? 1/2
图1
（1） 求系统的系统函数H(z)及其收敛域，单位函数响应h[n]以及系统差分方程； （2） 判断系统的稳定性；
（3） 画出系统的直接型模拟框图；
y[?1]?y[?2]?0，（4） 若x[n]?u[n]，求系统的零输入响应yzi[n]、零状态响应yzs[n]、
自由响应yh[n]、受迫响应yp[n]和稳态响应ys[n]。
【考查重点】：这是第十章考点，考查信号流图和梅森公式，系统函数，系统稳定性、系统
框图、系统响应等知识。
11?z?1?z?22【答案解析】：（1）、由梅森公式可得系统函数H(z)? 极点为1?11?21?z?z221z1??1,z2?
25z?12z?1由于系统因果，所以收敛域为z?1 H(z)?1?z?z 变换得：
13z?13z?211h[n]??[n]?[5(?1)n?4()n]u[n?1]
32由系统函数可得系统差分方程为：
y[n]?111y[n?1]?y[n?2]?x[n]?x[n?1]?x[n?2] 222（2）、由第一问可知收敛不包括单位圆，所以系统不稳定。
（3）系统模拟框图如下：
x[n] z?1 y[n] ? 12z?1 ?121 21
（4）、由于y[-1]=y[-2]=0,所以系统初始状态为0， 所以零输入响应yzi[n]?0 零状态响应就是全响应。
x[n]?u[n]?X(z)?1
1?z?1Y(z)?X(z)H(z)?11?z?1853?zzz22z?z?2?3?6?2
(2z?1)(z?1)2z?1z?1z?14153?yzs[n]?[?()n?(?1)n?]u[n]
32624153yh[n]?(?()n?(?1)n)u[n] yp[n]?u[n]
3262稳态响应是随着n??不会消失的响应，所以
53ys[n]?((?1)n?)u[n]
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