时频联合分析
摘要：常规傅立叶变换方法不能刻画任一时刻的频率成分,无法对其进行全面的分析。时频分析方法将一维时域信号变换到二维的时频平面。由于不同时频分析方法有其特有时频特性,本文简要介绍几种较常见的线性时频表示和非线性时频表示，并对他们进行比较，进一步阐述了这些方法的长处和不足之处。 1引言
信号一般用时间作自变量来表示,通过傅立叶变换可分解为不同的频率分量。在平稳信号分析中,时间和频率是两个非常重要的变量,傅立叶变换及其反变换建立了信号频域与时域的映射关系。基于傅立叶变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征,但傅立叶变换是一种整体变换,对信号的表征要么完全是时间域,要么完全是频率域,不能分析信号中频率随时间的变化关系。为了解频率随时间变化的关系,需要使用信号的时频分析方法。时频分析方法将一维时域信号映射到二维的时频平面,全面反映非平稳信号的时频联合特征。如图1 所示,可以很直观地了解信号的时间域描述、频率域描述和联合时频描述三种时频描述方法。该图给出了频率范围为10～90Hz 的线性调频信号,图上方为时间域描述,但是失去了频率成分;图左方为频率域描述,但是失去了时间的信息;图右下方为时频分布,可以看出频率随时间变化规律,给出了二维时间——频率关系的直观描述。
2线性时频表示
常用的时频表示分为线性和非线性两种[1～3 ],典型的线性时频表示有短时傅
立叶变换[4 ,5 ]、连续小波变换[6～11 ]等,典型的非线性时频表示有Wigner - Ville 分布[12 ,13 ]、Cohen类分布[14～17 ] 等。
2.1 Gabor变换
对于信号s(t)∈L2( R),其Gabor变换定义为:
G(b,?)??s(t)ga(t?b)e?j?tdt
????其中ga(t)?e是高斯函数(常数a>0),称为窗口函数。Gabor变换是对时间和2a??t24a频率同时局部化,能较好地刻画信号中的瞬态结构,其时频分辨率完全由高斯窗决定。经计算得,Gabor变换具有最小的时-频窗。
2.2 短时傅里叶变换(STFT)
短时傅里叶变换属于线性时频分析中的一种,是由Potter等人于1946年提出的,若给定一信号x(t)∈L2(R) ,其STFT 定义为:
STFTx?t,????x???g*(??t)e?j??d???x???,g(??t)ej???
??STFT 的含义可解释如下:在时域用窗函数g(?)去截x(?)(注将x(t)、g(t)的时间变量换成?，对截下来的局部信号作傅里叶变换,即得在t时刻的该段信号的傅里叶变换。不断地移动t,也即不断地移动窗函数g(t) 的中心位置,即可得到不同时刻的傅里叶变换。这些傅里叶变换的集合即是STFTx ( t ,Ω) 。短时傅里叶变换的优点在于其物理意义明确,对于许多实际的测试信号,给出了与我们的直观感知相符的时频构造；而且他不同于Wigner 分布,不会出现交叉项,由此成为历史上应用最多的一种时频分析。
但是由于测不准原理对窗函数时频分辨能力的制约，也就是利用短窗口有较高的时间分辨率, 但是频率分辨能力差。当利用长窗口时有较高的频率分辨率, 但时间分辨能力就弱。在应用当中，必须对时窗与频窗宽度做出折衷,而这种折衷取决于窗函数和信号的时频特性。并且折衷并非能涵盖所有类型信号时频特性的要求。例如,当被分析信号是缓变和瞬变共存的信号类型时,任何折中都将变得没有意义。这时采用任何宽度的时窗,要么照顾到缓变信号成分的要求而满足不了瞬变信号成分的需要,要么反之,或者是两种成分的分析结果都不能接受。也就是说,当被分析的信号是含有多种差别很大的尺度成分的类型时,短时傅里叶变换方法是无能为力的。 2. 3 小波变换
小波变换作为一种最新线性时频分析方法,是20世纪80年代中后期发展起来的。小波顾名思义就是小的波形,所谓“小”是指他具有较快的衰减性,而称之为“波”则是指他的波动性。对于给定信号x ( t) ∈L( R) , x ( t) 的小波变换定义为:
2
WTX(a,b)??a,b(t)?1a?x(t)?(*t?b)dt??x(t),?a,b(t)?a1t?b?()aa 式中:a>0是尺度因子，b是时移因子。Ψa, b ( t) 是母小波Ψ( t) 经移位和伸缩所
产生的一族函数,称之为小波基。由此定义可知,小波变换实质上是原始信号与经过伸缩后的小波函数族的相关运算。通过调整尺度, 可得到具有不同时频宽度的小波以匹配原始信号的不同位置, 达到信号的局部化分析。与短时傅里叶变换不同,小波变换能较好地解决时间和频率分辨力的矛盾:小波变换的窗是可调时频窗,在高频时使用短窗口,在低频时则用宽窗口,即以不同的尺度观察信号,以不同的分辨力分析信号,充分体现了多分辨率分析的思想,与时变、非平稳信号的特性一致。但是小波变换对时频平面也是一种机械式的划分,在实际中选择能反映信号特征的小波不易,而且一旦选定小波就必须用同一个小波分析下去,因此并不具备自适应的特点。另外小波变换引入的是尺度因子a，由于尺度因子a与频率f间没有直接的联系,而且频率在小波变换中没有明显地表现出来,因此小波变换的结果不是一种真正的时频谱。 2.3 S变换
为了解决短时傅氏变换只能以一种分辨率进行时频分析及小波变换不能直接与频率对应的缺陷，1996年美国地球物理学家Stocwkell在前人的基础上提出了S变换[18]。在S变换中,基本小波是由简谐波与高斯函数的乘积构成的,基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换, 而高斯函数则进行伸缩和平移。这一点与连续小波变换不同,在连续小波变换中,简谐波与高斯函数进行同样的伸缩和平移。信号f(t)一维连续正变换表达式如下：
S(?,f)??????f(t)f2??f2e(t??)2?j2?ft2dt
式中，f为频率，t是时间τ控制时间轴上高斯窗的位置。由于S变换采用宽度可变的高斯窗函数，傅氏变换仍然是高斯函数[19-20],所以可以达到很好的时频聚
集性能。图5所示为高斯窗S变换,它综合了短时傅氏变换和小波变换的优点, 避免了它们的不足:频率的倒数决定了S 变换中的高斯窗的尺度大小,使信号的S变换的时频谱的分辨率与频率(即尺度)有关,从而克服了短时傅氏变换不能调节分析窗口频率的问题。同时具有了小波变换的多分辨优点,而且含有相位因子,这是小波变换所不具备的特性。由于S 变换分辨率可自适应调节,能够兼顾高低频分量,保持低频部分较高的分辨率,且不存在交叉项。大量实验表明在频带较宽时,更能够体现出该方法的优越性。
3 非线性时频表示
3.1魏格纳威利分布(WVD)
不同于上述两种线性时频分布,魏格纳威利分布作为Cohen类双线性时频分布中最基本一种,其实质是将信号的能量分布于时频平面内。这种分布最初是由魏格纳(Wigner)在量子力学中提出的,后有威利(Ville)首先应用于信号分析。对于某确定性时间连续信号x ( t) 的WVD定义为:
WX(t,?)??????x(t??2)x*(t??2)e?j??d?
此式可理解为把过去某一时间信号乘上未来某一时间信号，再对两个时间差
τ求傅里叶变换。因为x(t)出现两次,所以称其为双线性变换。考虑到式中不含
有任何的窗函数,因此避免短时傅里叶变换时间分辨率与频率分辨率相互牵制的矛盾,他的时间带宽积达到了测不准原理给出的下界。但是魏格纳威利分布本质
不是线性的,即两信号和的WVD分布并不等于每一个信号的WVD分布之和。
令x(t)?x1(t)?x2(t)则：Wx(t,?)??[x1(t?)?x2(t?)]?[x1(t?)?x2(t?)]e?j??2222 ?WX1(t,?)?Wx2(t,?)?2Re[Wx1,x2(t,?)]
??*?*?式中2Re[W x, x( t ,Ω) ] 是x1 ( t) 和x2 ( t) 的互WVD，称之为“交叉项”,他是引进的
1
2
干扰。显然,信号中包括的分量成分越多,交叉项也越多。对于某含有个N 分量的
2信号,交叉项就有CN个。交叉项的出现极大地干扰了时频分布,同时也抑制了二
次型时频分布的推广。
伪Wigner-Ville分布(pseudo WVD, PWVD)是对基本的WVD进行加窗处理,原因是实际积分不可能从??到?，因此应该研究有限范围内的积分结果。此外在计算某一时间t的分布时,与远离t的时间相比,更希望加强所关心时间附近的特性。其分布定义式为：
WP(t,?)??????h(?)s(t??2)s*(t??2)e?jw?d?
加窗的结果使得WVD的完全非局部性变为局部化,且在某种程度上压缩了多分量信号的交叉项（如下图）,但同时破坏了WVD的一些边缘特性。
WVD和伪PWVD的值并不满足常规意义上的能量正值性,为了实现能量分布为正值性的特点,可通过把WVD与平滑函数L(t,?)进行卷积,从而得到平滑伪W
igner-Ville 分布( smooth p seudo WVD,SPWVD),其分布定义式为：