2017-2018学年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣3≤x≤2} D．{x|x≤2} 2．复数z满足z?i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（ ） A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3
4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2
5．公差为1的等差数列{an}中，a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前10项和为（ ） A．65 B．80 C．85 D．170 6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜称轴方程是（ ） A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
）的图象过点（
，1），则该函数图象的一条对
7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．55
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）
A．4 B．2 C．6 D．4
9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
10．A、B、C在半径为点S、AB=BC=CA=的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，，
则点S与△ABC中心的距离为（ ） A．
B．
C．1
D．
11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近
线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A．C．（1，2] B．（2，+∞） （1，2） D．（1，]
12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，1）
C．（﹣∞，
）
D．（0，
）
二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分 13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f（1）的值为 ．
14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）
15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为
的直线与抛物线交于A，B两点，
若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于 ． 16．数列{an}满足an=
（n≥2），若{an}为等比数列，则a1的取值范
围是 ．
三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21． （1）求cos∠B的值；
（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．
18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；
（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；
试比较哪种方案较好，并请说理由．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
20．已知椭圆E：一个公共点．
+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．
21．已知函数f（x）=（x+1）ex和函数g（x）=（ex﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F． （Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．
选修4-4：坐标系与参数方程选讲
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
0＜α＜π）（t为参数，，
以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集； （Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．
+
的值．
2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣3≤x≤2} D．{x|x≤2} 【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，
解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，
由B中不等式变形得：log2x≤1=log22， 解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}， 则A∩B={x|0＜x≤1}， 故选：B．
2．复数z满足z?i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 【分析】将z=
化为：4﹣3i，从而求出所在的象限．
=4﹣3i，
【解答】解：因为z=
所以z在复平面内对应的点为（4，﹣3），在第四象限． 故选：D．
3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（ ） A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出，根据向量垂直得出（+）?（2﹣）=0，解方程得出λ．
=||||cos120°=﹣1． 【解答】解：
∵（+）⊥（2﹣）， ∴（+
）?（2﹣）=0，即2
+（2λ﹣1）
﹣
=0．
∴8+1﹣2λ﹣λ=0，解得λ=3． 故选：D．
4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（ ）