《工程结构可靠性理论与应用》习题
4.1某地区年最大风压实测值见教材表3-3。
（1）用K-S检验法对年最大风压分布进行假设检验，证明该地区年最大风压可用极值I型来拟合，并写出相应的分布函数；
（2）试求该地区设计基准期T＝50年的最大风压的统计特征（统计参数和分布函数）。
解：
（1）列出年最大风压实测值表，见表1。
2
表1 某地年最大标准风压（kgf/m）实测值（25年） 年份 风压 年份 风压 年份 风压
1951 11.14 1960 22.25 1969 19.80
1952 13.81 1961 31.44 1970 11.89
1953 14.31 1962 21.83 1971 19.80
1954 1963 1972
1955 1964 1973
1956 37.44 1965 14.82 1974 7.98
1957 1966 1975 10.12
1958 1967
1959 1968
43.67 32.29 19.80 16.04 16.04 12.67
21.42 21.42 23.96 13.81 20.42 20.20
（2）对荷载进行统计分析，依据该地区25年实测最大风压力绘制计统计频率分布直方图，为偏态，所以初步判断年最大风压力服从极值I型分布，试用极值I型分布拟合。已知极值I型分布函数
??x????FI(x)?exp??exp??? ?a????（3）参数估计 子样平均数：X?子样标准差：
11(X1?X2??X25)=(11.14?13.81???10.12)?19.93 252512?1222?11.14?19.99）?（13.81?19.99）???（10.12?19.99）〕?〔（?＝8.62 ?24??(x)＝19.93、??(X)＝8.62来在M(X)，?(X)，未知情况下，分别用上述估计值M近似代替，计算未知参数a,u的估计值。
M(x)?0.5772a??
?(x)?1.2826a
??a8.621 ＝?1.28261.28260.151?16.08 0.15?(X)??(X)?0.5772a?19.93?0.5772?垐??M于是可以得到该地区年最大风压可以用F1(x)?exp?exp??0.15(x?16.08)?来拟合。
?? 1
（4）假设检验
假设H0：该地区年最大风压服从极值I型分布，即其分布函数为
FI(x)?exp??exp??0.15(x?16.08)??
其中a?1，??16.08。 0.152）将X的经验分布函数Fn(x)（统计量）与假设的X的分布函数F(x)进行比较，使用统计量Dn?maxF(x)?F(x)?maxD(x)，其中D(x)＝F(x)?F(x)，来度量
nnnn???x?????x??抽得的子样与要检验的假设之间的差异，数量大就表示差异大。
为便于计算Dn的观测值Dn，列表计算Dn(x)。见表2。
表2 子样检验差异表
风压值
频数
累计频数
假设分布值
经验分布值
?Dn(xi)
xi7.98 10.12 11.14 11.89 12.67 13.81 14.31 14.82 16.04 19.8 20.2 20.4 21.42 21.83 22.25 23.69 31.44
vi1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1
?v
iF(xi)
Fn(xi)0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.28 0.32 0.36 0.44 0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.80 0.84 0.88
0.0056 0.0067 0.0027 0.0066 0.0113 0.0348 0.0486 0.0612 0.0743 0.0358 0.0567 0.0873 0.0817 0.1043 0.1272 0.1134 0.0250
1 2 3 4 5 7 8 9 11 15 16 17 18 19 20 21 22
0.0344 0.0867 0.1227 0.1534 0.1887 0.2452 0.2714 0.2988 0.3657 0.5642 0.5833 0.5927 0.6383 0.6557 0.6728 0.7266 0.9050
2
35.29 37.44 43.67
1 1 1
23 24 25
0.9455 0.9602 0.9842
0.92 0.96 1.00
0.0255 0.0002 0.0158
表中 F(xi)?exp?exp??0.15(x?16.08)? ??Fn(xi)?1(?vi) nDn(x)＝Fn(xi)?F(xi)
?从表2可见：Dn?maxF(x)?F(x)?0.1272
nii1?i?n3）给显著水平a?0.05，求出临界值Dn,0.05。当n足够大时，我们可以认为nDn的分布近似于Q(?)。给定a?0.05，临界值Dn,0.05即满足
P(nDn?Dn,0.05)?0.05?P(nDn?Dn,0.05)?0.95?Q(Dn,0.05)
查教材附表Ⅲ Dn,0.＝01.36
?nDn＝0.645 故接受H0，即认为该地区年最大风压服从极值I型分布，其分布函数为： FI(x)?exp??exp??0.15(x?16.08)?? a?1，u?16.08 0.15（5）求该地区设计基准期T＝50年，最大风压的统计特征值。 不考虑风向时： ?x?0.359WK?x?1.012WK?(x)?[FWT?(x)]m??exp[?exp(?FWT)]??exp[?exp(?)]0.167WK0.167WK?? 50??0.19 ??1.11WK，?WT由此得到：?WT考虑风向时： 50FWT(x)?[FWT(x)]m＝ ?x?0.323WK?exp[?exp(?)]??0.151WK??＝ exp[?exp(?x?0.910WK)] 0.150WK由此得到： 3 ?WT?0.998WK，?WT?0.19 由于?WT?0.998WK?WK所以规范规定的风荷载标准值WK即相当于设计基准使用为50年的考虑了风作用方向的最大风荷载WT?概率分布的平均值。 4.2 求钢筋混凝土轴心受压构件的抗力统计参数。 已知 C30混凝土 fck?17.5N/mm，?kfc?1.41，?fc?0.19 20MnSi钢筋 fyk?340N/mm，?kfy?1.14，?fy?0.07 截面尺寸bk?300mm，hk?500mm，?kb??kh?1.0，?b??h?0.02 22? 配筋率?＝0.015，稳定系数??1.0，抗力表达式RP?fcbh?fyAS钢筋截面积：?kAs'?1.0，?As'?0.03 计算模式：?kP?1.0，?kP?0.05 解： ?Ag?)，统计参数为： 计算公式为：R?KP?RP?KP(Rabh?Rg?RP??Ra??b??h??Rg???Ag? ＝1.41?17.5?300?500?+1.14?340?0.015?1?300?500 ＝4573350 N 令 C???g?R?gKkR1.1?4340?0.01?5?0.2 36kRa?RaK1.4?117.50.192?0.022?0.022?0.236(0.072?0.032)?(1?0.236)2?2RP?2?2??Ag?2)?Ra??b2??h2?C2(?Rg(1?C)2＝0.0248 得： KR??RRK??KP??RPRK?1.35 22?R＝?KP??RP=0.165 4.3 已知极限状态方程Z=g(R,S)=R-S=0，?R=100，?S=50，?R＝0.12，?S＝0.15，试求下列情况下?。 4 （1）R、S均服从正态分布； （2）R服从对数正态分布，S服从极值I型分布。 解： （1）当R、S均服从正态分布时： ?R=100，?S=50，?R＝0.12，?S＝0.15 ?R＝?R?uR=12，?S＝?S?uS＝7.5 得 ?＝uz?z?uR?uE???2R2S＝3.53 （2）R服从对数正态分布，S服从极值I型分布时： 1）由于R服从对数正态分布，首先对抗力R进行当量正态化： 令R*的初值为其平均值， ??（1?ln?R?＝R（1?lnR??ulnR）＝RuR21??R?lnR?） =100(1+4.59802153-4.60517019) ＝99.285 2?R?＝R??lnR?R?ln(1??R) 2＝100ln(1?0.12)＝11.95713 2）S服从极值I型分布，对荷载S当量化： 令S的初始值为其平均值 ?a?6?S/?＝6?7.5/?＝5.848 u?us?0.577a＝50-0.577?5.848＝46.6257 y?1?1（50-46.6257）＝0.57701 (S?u)?a5.848FS(S?)＝exp[?exp(?y)]?exp[exp(?0.57701)]?exp[?0.561575]?0.5703 ?S(S?)?exp(?y)exp[?exp(?y)]?＝ 1a1exp(?0.57703)exp[?exp(?0.57703)] 5.8481?0.561575?0.5703＝0.054765 5.848?1?1?S＝???〔FS(S?)〕?/0.054765＝0.5703〕?/?S(S?)＝???〔?（0.177）0.054765 5