第i个厂向第j个站点的运输费为运送量mij与运送1单位所需铁路费和公路费的和的乘积，第i个厂向各个站点运送钢管的总运费即为?mij?Tij?Gij?，则各
j?115厂到站点的运输费
7 Y??i?1?15???mij?Tij?Gij?? ?j?1?要算出钢管由站点运送到铺设地点的费用Y0需知道钢管按何种方式进行铺设的。在问题分析里一讨论边走边铺与实际不符，且有违题目条件，所以我们假设钢管在铺设过程中以1km为单位进行铺设，且由站点向两边进行铺设，则Y0可由等差数列求和公式得到，即
14 Y0??j?1Rj?1?Rj?215?0.1??j?2Lj?1?Lj?2?0.1
由于一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位，且各厂在
指定期限内有生产上线，则在第i个厂的购买总量需满足
1515ij 500??mj?1?maxi或?mij?0
j?1钢管由站点向左右两边进行铺设，则第j个站点向右铺设部分与第j?1个站点向左铺设部分之和应为两站点之间的管道长度，且第一个站点向左铺设部分与最后一站点向右铺设部分都为0，即
Rj?Lj?1?Dj ?j?1,2?14? L1?0 R15?0
第j站点向左铺设部分与向右铺设部分之和应为七个厂向第j站点输送钢管总量，即
Rj?Lj??m ?j?1,2?15?
iji?17
综合考虑钢管的购买费M、厂到站点的运输费Y以及站点到铺设地点的运输费Y0，钢管的订购和运输优化模型建立如下： 目标函数
6
715ij7 min W?
?(?mi?1j?1Pj)+?i?114R?1?Rj??15?j（????mij?Tij?Gij??+
2j?1?j?1?15?j?2Lj?1?Lj?2?0.1 ）
1515ij 500??mj?1?maxi或?mij?0
j?1 Rj?Lj??m ?j?1,2?15?
iji?17
s.t Rj?Lj?1?Dj ?j?1,2?14? L1?0 R15?0
六、模型求解
由于铁路、公路相互交错，无法直接选出钢厂到站点的费用最小路线，所
以此处我们采用深度优先遍历方法。首先建立一个39维数组，将图一中39个交点两两之间有铁路、公路连接的用具体路线长写入数组，且铁路用负数表示，公路用正数表示，而没有路线连接的用无穷大代替，最后换算成到各站点的铁路、公路总费。全过程通过matlab编程完成（程序见附录?），。
表一 Si到Ai的最小费用（单位：万元/单位）
A1 A2 A3 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 170.7 160.3 140.2 98.6 38 20.5 3.1 215.7 205.3 190.2 171.6 111 64.6 86 230.7 220.3 200.2 181.6 121 105.5 96 260.7 250.3 235.2 216.6 156 139.6 131 255.7 245.3 225.2 206.6 146 130.5 121 265.7 255.3 235.2 216.6 156 140.5 131 275.7 265.3 245.2 226.6 166 150.5 141 A4 A5 A6 A7 7
A8 A9 A1021.2 64.2 92 96 106 121.2 128 142
71.2 114.2 142 146 156 171.2 178 192 86.2 48.2 82 86 96 111.2 118 132 116.2 84.2 62 51 61 76.2 83 97 111.2 79.2 57 33 51 71.2 73 87 121.2 84.2 62 51 45 26.2 11 28 131.2 99.2 76 66 56 38.2 26 2 A11 A12 A13 A14 A15 1515ij因为matlab无法直接对约束条件500?15?mj?1?maxi或?mij?0进行处理，
j?1所以我们先将此条件改为?mij?maxi，则原模型变为
j?114R?1?Rj??15?j???mij?Tij?Gij??+（?2j?1?j?1?715ij715min W?
?(?mi?1j?1Pj)+?i?1?j?2Lj?1?Lj?2）?0.1
15 ?mij?maxi
j?1 Rj?Lj??m ?j?1,2?15?
iji?17
s.t Rj?Lj?1?Dj ?j?1,2?14? L1?0 R15?0
mij?0 ?j?1,2?15,i?1,2?7?
通过matlab编程（程序见附录）计算结果见表二
8
表二 各厂的生产量及总费用（生产量可小于500）（单位：单位 、万元） 总费用 S7 S3 S5 S6 S1 S2 S4 800 由表二可知，S4、S7的生产量小于500单位。由于S4的生产量等于0，所以不用考虑，直接取为0；而在S7的生产量问题上，有两种处理方式：
（1）S7的生产量为0；
（2）S7的生产量大于500单位。
两种处理方式计算结果见表三
表三 各厂的生产量及总费用（单位：单位 、万元）
总费用 S7 S3 S5 S6 S1 S2 S4 800 1000 0 1190.5 1135.5 245 1.2754?106 =0 >500 800 800 800 800 1000 1000 0 0 1190.5 1180.5 0 1185.5 885.5 500 1.2786?101.2797?106 6通过以上两种方式的比较，购买和运输最小总费用min W=1.2786?106（万元）具体的订购和运输方案见表四。
表四 问题一订购和运输方案（不足1km的按整数计）（单位：单位 、万元） S7 S3 S5 S6 S1 S2 S4 订购量 800 A1 A2 A3 800 0 179 137 74 1000 0 0 141 79 0 0 0 0 0 1190 0 0 230 166 1181 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 149 A4 9
A5 A6 A7 A8 A9 A10186 200 265 0 0 0 0 0 0 0 0 110 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 5171 116 0 0 0 664 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 203 0 0 0 0 176 415 0 0 0 0 总费用 0 0 0 0 0 176 0 86 333 621 165 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 A11 A12 A13 A14 A15 订购总量
1.2786?10 六．灵敏度分析（问题二）
由于本案例中对模型结果产生影响的因素有很多，所以我们在此取个关键的参数进行了灵敏度分析。模型对这些参数的敏感性反映了各种因素影响结果的显著性程度。通过对模型参数的敏感性分析，又可以反映和检验模型的实际合理性。
由灵敏度的定义知，灵敏度是指系统中的参数或外扰的微小摄动对系统某特性的影响程度，其计算公式如下：
灵敏度=
参数变化引起系统特性变化的百分数参数变化的百分数
（1） 对钢厂钢管销价的灵敏度分析
钢厂钢管的销价是此问题的一个重要因素，钢铁价格的高低可以说直接影响着总费用和够运计划。现在对价格做灵敏度分析，其他一切条件不变，且在讨论
Si的销价变化带来的影响时其余各厂的销价不变。我们分别使各钢厂的价格单
独增加5万元/单位和减少5万元/单位，并分别带入上述模型计算，得到此时的总费用，再利用灵敏度公式计算各种情况的影响程度。结果如下表：
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