第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知 识 梳 理
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p 真 真 假 假 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“?”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“?”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．
3．含有一个量词的命题的否定
命题 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) 命题的否定 ?x0∈M，?p(x0) ?x∈M，?p(x) q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
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(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×) (2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√) (3)已知命题p：?n0∈N,2n0＞1 000，则?p：?n0∈N，2n0≤1 000.(×)
(4)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”．(×) 2．(2014·重庆卷)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0； q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A．p∧?q C．?p∧?q
B．?p∧q D．p∧q
解析 由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故?q为真命题，所以p∧?q为真命题．
答案 A
3．(2014·湖南卷)设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则?p为( ) A．?x0∈R，x20＋1＞0 1≤0
C．?x0∈R，x20＋1＜0 1≤0
2解析 “?x∈R，x2＋1＞0”的否定为“?x0∈ R，x0＋1≤0”，故选B.
B．?x0∈R，x20＋
D．?x∈R，x2＋
答案 B
4．若命题“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
??a＜0，解析 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知?
2
?Δ＝a＋8a≤0，?得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.
答案 [－8,0]
5．(人教A选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①?x∈N，x3＞x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
2
③?x0∈R，x0－x0＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则以上命题的否定中，真命题的序号为________．
答案 ①②③
考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
【例1】 (1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q C．(?p)∧(?q)
B．p∧q D．p∨(?q)
(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(?p)∨(?q) C．(?p)∧(?q)
解析 (1)由于a，b，c都是非零向量，
∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴?p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则?q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(?p)∧(?q)，p∨(?q)都是假命题．
B．p∨(?q) D．p∨q
(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.
答案 (1)A (2)A
规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．
【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题1
q：函数y＝x－x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )
A．p∧q是真命题 C．?p是真命题
B．p∨q是假命题 D．?q是真命题
(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件． 解析 (1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；
深度思考 常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由“或、且、非”1
因为函数y＝x－x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题． 所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，?p为假命题，?q为真命题，故选D. (2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．
若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．
答案 (1)D (2)必要不充分
考点二 全(特)称命题的否定及其真假判定
【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．?x∈R，|x|＋x2＜0 x2≤0
C．?x0∈R，|x0|＋x20＜0
2＋x0≥0
B．?x∈R，|x|＋
D．?x0∈R，|x0|
(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是( )
A．?x∈R，x2＞0 ＜sin x＜1
C．?x0∈R,2x0＜0 ＝2
B．?x∈R，－1
D．?x0∈R，tan x0
解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“?x0∈R，|x0|＋x2故选C.(2)?x∈R，x2≥0，故A错；?x∈R，－1≤sin 0＜0”．x≤1，故B错；?x∈R,2x＞0，故C错，故选D.
答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
【训练2】 命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( ) A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
解析 “存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
答案 C
考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题
【例3】 已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－2] D．[－2,2]