ax?1. 60. 求极限 limx?0x答案： 一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x)??0f(t)dt?C，且
F?(x)?f(x).
x当F(x)为偶函数时，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即
?f(?x)?f(x)，也即f(?x)??f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)
为奇函数，则?0f(t)dt为偶函数，从而F(x)??0f(t)dt?C为偶函数，可见(A)为正确选项.
方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=x2, 排除(D); 故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多
次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
f(x)??，所以x=0为第二类间断点； 且 limx?0xx12 limf(x)?0，limf(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).
x?1?x?1?xx???lim???. 从而limex?1???，【评注】 应特别注意：lim，???x?1x?1x?1x?1x?1xx?1?limexx?1?0.
6
3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C
∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 1原式 = lim(x?1?1)(x?1?1)?lim?1. （有理化法） x?0x?0x(x?1?1)x?1?129 D 10 C
x?1x2tanx(1?cosx)12解 原式?lim. ▌ ?lim?x?0x?0(2x)38x316注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例
中若对分子的每项作等价替换，则 错误！ 原式?limx?0x?x?0. (2x)3
二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5
15 . e?2 16. x?1,2
7
3e
17 .(??,??) [0,??) 18. (??,??) {?1,0,1}
19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数y ? f (x) 在点x0有定义； ② x→x0 时极限
x?x0limf(x)存在；
x?x0③ 极限值与函数值相等，即
limf(x)?f(x0) 三. 计算题
21 . 【分析】 \???\型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
x?x2?1?e?x1?x1x?x2?1?e?x【详解】 lim(=lim ?)?lim2?xx?0x?01?e?xx?0xxx(1?e)1?2x?e?x2?e?x3?. =lim=limx?0x?02x2222. f(x)=3lnx+1 x＞0 23.24.e 25. 26. ln3; 27. 3
28. 解：由x＋2≥０解得x≥-2
由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为
｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）
2
1629. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的
8
字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，
f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99
3n2?5n?153??223n?5n?1nn?lim?lim31 . 解：nlim22???6n?4n?7n???6n?4n?7n???46??2nn1n27 n211?lim23?0?01n???n???nn???n???
11lim6?4lim?7lim26?0?02n???n???nn???nlim3?5limn(n?1)21?2???nn?n12?lim?lim? 32. 解：nlim222???n???n???nn2n2(n?1?n)?lim33 . 解： nlim???n???1?limn?1?nn???(n?1?n)(n?1?n)
n?1?n1n???n?0
n?1lim?lim1n???nn???lim ?nlim???1n?n?1?1n22()n?1lim()n?lim12?30?1n???3n???3?lim????1 34 . 解：nlim???2n?3nn???2n2n0?1()?1lim()?lim1n???3n???3nn35 . 解：⑴
limy?2,limy?3 ，lim?y?lim?y 因为 x???2x?2x?2x?2 所以 函数在指定点的极限不存在。
9
1y?limy y?sin0?0,limy??0?0，lim ⑵ 因为lim??x?0?x?0?3x?0x?0 所以 函数在指定点的极限limx?0y?0 lim1limx11136 .
x?3x?3??3limx?3x?limx?33?3?3?6
x?3x?3137 . limx?3x2?9?limx?3?x?3??x?3??limx?3x?3?16 38 . lim1?x?1x?lim(1?x?1)(1?x?1)x?0x?0x(1?x?1)?lim?xx?0x(1?x?1)?lim?1x?01?x?1??12 2?1139 . 32lim2x?x?1x?x3x??x3?x?1?limx?? 1?11x2?x3lim11 ?x??2?limx??x?limx??x32?0?0limx??1?lim11?1?0?0?2
x??x2?limx??x321140. 2lim2x?x?1x?x2?x3x??x3?x?1?limx?? 1?11x2?x32lim1?lim11 ?x??xx??x2?limx??x30?0?0lim11?1?0?0?0
x??1?limx??x2?limx??x341. limsin3xx?0x?limsin3xx?03x?3?3 242. 2sin2x?x?lim1?cosx2?sin?x?0x2?limx?04(x?12??lim2?x?0x?1 2)2??2?2??43. =
lim(1?1)nn??n?e?e limn??(1?1n)312244. ?lim?n??????1?1?n??????lim?1?n???n?????n????1?n?????e2
?
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