专题复习(六) 几何综合题 类型1 类比探究的几何综合题
1．(2019·岳阳)问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2.
(1)初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD＝2时，则S1·S2＝12；
(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值；
(3)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α. (Ⅰ)如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表达式(结果用a，b和α的三角函数表示)；
(Ⅱ)如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．
解：(1)在图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB＝AC＝6，∠A＝∠B＝60°. ∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°， ∴∠BND＝∠EDF＝60°. ∴∠BDN＝∠ADM＝60°.
∴△ADM，△BDN都是等边三角形．
∴S1＝33
×22＝3，S2＝×42＝43. 44
∴S1S2＝12.
(2)在图2中，设AM＝x，BN＝y.
∵∠MDB＝∠MDN＋∠NDB＝∠A＋∠AMD，∠MDN＝∠A， ∴∠AMD＝∠NDB.
∵∠A＝∠B，∴△AMD∽△BDN. ∴
AMADx4
＝.∴＝. BDBN2y
∴xy＝8.
113∵S1＝AD·AMsin60°＝3x，S2＝DB·BNsin60°＝y，
22233
∴S1S2＝3x·y＝xy＝12.
22
(3)(Ⅰ)在图3中，设AM＝x，BN＝y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab. 11∵S1＝AD·AMsinα＝axsinα，
2211S2＝DB·BNsinα＝bysinα，
22
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1
∴S1S2＝(ab)2sin2α.
4
(Ⅱ)在图4中，设AM＝x，BN＝y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab， 11∵S1＝AD·AMsinα＝axsinα，
2211S2＝DB·BNsinα＝bysinα，
221
∴S1S2＝(ab)2sin2α.
4
2．(2018·自贡)如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E.
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE＋OD与OC的数量关系，并说明理由；
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
图1 图2 图3
解：(1)∵OM是∠AOB的平分线，
1
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°.
2∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°.∴∠OCD＝60°. ∴∠OCE＝∠DCE－∠OCD＝60°. 在Rt△OCD中，OD＝OC·cos30°＝同理，OE＝
3
OC. 2
3
OC， 2
∴OD＋OE＝3OC.
(2)(1)中的结论仍然成立．理由：
过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G， ∴∠OFC＝∠OGC＝90°.
∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°. 同(1)的方法得OF＝
33
OC，OG＝OC. 22
∴OF＋OG＝3OC.
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG.
∵∠DCE＝∠FCG＝120°， ∴∠DCF＝∠ECG. ∴△CFD≌△CGE. ∴DF＝EG.
∴OF＝OD＋DF＝OD＋EG，OG＝OE－EG.
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∴OF＋OG＝OD＋EG＋OE－EG＝OD＋OE.
∴OD＋OE＝3OC.
(3)(1)中的结论不成立，结论为OE－OD＝3OC. 3．(2018·东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO∶CO＝1∶3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)．
请回答：∠ADB＝75°，AB＝43； (2)请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝33，∠ABC＝∠ACB＝75°， BO∶OD＝1∶3，求DC的长．
图1 图2 图3
解：过点B作BE∥AD交AC于点E. ∵AC⊥AD，∴∠DAO ＝∠BEO＝90°. ∵∠AOD ＝∠EOB， ∴△AOD∽△EOB.
∴
BOEOBE＝＝. DOAODAEOBE1＝＝. AODA3
∵BO∶OD＝1∶3， ∴
∵AO＝33，∴EO＝3.∴AE＝43. ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，AB＝AC. ∴AB＝AC＝
AE
＝8. cos30°
1
∴BE＝AB＝4，
2
AD＝3BE＝12.
在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，
即82＋122＝CD2，得CD＝413. 4．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
图1 图2 图3 图4
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是AD⊥CE；
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；
(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．
解：(1)提示：连接AC，延长CE交AD于点H，证明
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△ABP≌△ACE. (2)结论仍然成立．
理由：选图2，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.∴AB＝AC. ∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°. ∴∠BAP＝∠CAE. ∴△BAP≌△CAE.
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°. ∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°. ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.
(3)连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H. 由(2)可知，EC⊥AD，CE＝BP. 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴EC⊥BC.
∵BC＝AB＝23，BE＝219，
在Rt△BCE中，EC＝（219）2－（23）2＝8. ∴BP＝CE＝8.
∵AC与BD是菱形的对角线， 1
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD.
2∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6.
1
∴OA＝AB＝3，DP＝BP－BD＝8－6＝2.
2∴OP＝OD＋DP＝5.
在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27，
13
∴S四边形ADPE＝S△ADP＋S△AEP＝×2×3＋×(27)2＝83.
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5．(2018·烟台)【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝11，求∠APB的度数． 图1 图2 解：【问题解决】思路一：
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， ∴△ABP′≌△CBP.
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∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，AP′＝CP＝3. 在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝2，
∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2BP＝22. ∵AP＝1，∴AP2＋PP′2＝1＋8＝9. ∵AP′2＝32＝9， ∴AP2＋PP′2＝AP′2.
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°. ∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋45°＝135°. 【类比探究】
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， ∴△ABP′≌△CBP.
∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝11. 在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，
∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2BP＝2. ∵AP＝3，∴AP2＋PP′2＝9＋2＝11.
∵AP′2＝(11)2＝11， ∴AP2＋PP′2＝AP′2.
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°. ∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45°. 6．(2018·黄石)在△ABC中，E，F分别为线段AB，AC上的点(不与A，B，C重合)．
S△AEFAE·AF
(1)如图1，若EF∥BC，求证：＝；
ACS△ABCAB·
(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； S△AEFAE3
(3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，＝，求的值．
AB4S△ABC
图1 图2 图3
解：(1)∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC. ∴∴
AEAF＝. ABAC
S△AEFAE2AEAFAE·AF
＝()＝·＝. ABACAB·ACS△ABCAB
(2)若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立．
分别过点F，C作AB的垂线，垂足分别为N，H. ∵FN⊥AB，CH⊥AB， ∴FN∥CH.
∴△AFN∽△ACH. ∴
FNAF＝. CHAC
1
AE·FN
S△AEF2AE·AF∴＝＝.
AB·ACS△ABC1
AB·CH2
(3)连接AG并延长，交BC于点M，连接BG并延长，交AC于点N，连接M，N，
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