ABDE
∴△ABE∽△DEC.∴＝. AEDC设AE＝x，则DE＝25－x， 1225－x∴＝.∴x＝9或x＝16. x12
∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16. ∴由勾股定理，得CE＝20，BE＝15.
由折叠得，BP＝PG，BC＝GC，∴BP＝BF＝PG. ∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP. ∴
EFCE＝. GPCG
15－y20
＝. y25
设BP＝BF＝PG＝y，∴∴y＝
2525
，即BP＝. 33
在Rt△PBC中，由勾股定理，得 2510BC310PC＝，cos∠PCB＝＝.
3PC10③连接FG，
∵∠GEF＝∠G＝90°，∴BE∥PG. ∵BF∥PG，BF＝PG＝BP， ∴四边形BPGF是菱形． ∴BP∥GF，且BP＝GF. ∴∠GFE＝∠EBA. ∴△GEF∽△EAB. ∴
EFAB＝. GFEB
∴BE·EF＝AB·GF＝AB·BP＝12×9＝108. 4．(2018·永州)如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G，H分别在9
BC，AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I.若CI＝4，HI＝3，AD＝，矩形DFGI
2
恰好为正方形．
图1 图2 图3
(1)求正方形DFGI的边长；
(2)如图2，延长AB至P，使得AC＝CP.将矩形EFGH沿BP的方向平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
(3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG，DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．
HICI34
解：(1)∵HI∥AD，∴＝.∴＝.
ADCD9CD
2∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2. ∴正方形的边长为2.
第 11 页
(2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为点G′，点F的对应点为点F′. ∵CA＝CP，CD⊥PA，
∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P.
∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P. ∴∠CHG′＝∠CG′H. ∴CH＝CG′.
∴IH＝IG′＝DF′＝3. IGCI
∵IG∥DB，∴＝. DBCD∴
24
＝.∴DB＝3. DB6
∴DB＝DF′＝3.∴点B与点F′重合．
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是三角形，即△BGG′. (3)将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到△DRF′，此时N，F′，R共线． ∴∠MDR＝90°. ∵∠NDM＝45°，∠NDM＋∠NDR＝90°， ∴∠NDM＝∠NDR＝45°. ∵DN＝DN，DM＝DR， ∴△NDM≌△NDR.
∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′.
∴△MNG′的周长＝MN＋MG′＋NG′＝NF′＋NG′＋MI′＝F′G′＋I′G′＝2I′G′＝4. 5．(2018·岳阳)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD交BB′于点E，设∠ABC＝2α.(0°＜α＜45°)
(1)如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；
(2)如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系；(用含α的式子表示) (3)如图3，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α＋45°)，得到线段FC，连接EF交S1BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求.(用含α的式子表示)
S2
图1 图2 图
3
解：(1)证明：∵点B，B′关于EC对称， ∴BB′⊥EC，BE＝EB′. ∴∠DEB＝∠DAC＝90°. ∵∠EDB＝∠ADC， ∴∠DBE＝∠ACD.
∵AB＝AC，∠BAB′＝∠CAD＝90°， ∴△BAB′≌△CAD. ∴CD＝BB′＝2BE.
(2)如图2，结论：CD＝2BE·tan2α.
理由：由(1)可知，∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°， ∴△BAB′∽△CAD. ∴
BB′AB1
＝＝. CDACtan2α
第 12 页
∴
2BE1
＝. CDtan2α
∴CD＝2BE·tan2α.
(3)如图 3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°－2α. ∵EC平分∠ACB，
1
∴∠ECB＝(90°－2α)＝45°－α.
2∵∠BCF＝45°＋α， ∴∠ECF＝45°－α＋45°＋α＝90°. ∴∠BEC＋∠ECF＝180°.
∴BB′∥CF.∴△BEO∽△CFO. ∴
EOBEBE
＝＝＝sin(45°－α)． FOCFBC
S1EO∵＝， S2FOS1∴＝sin(45°－α)． S2
6．(2018·潍坊)如图1，在?ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶FA＝1∶5.
(1)如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B.
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值； (2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．
图1 图2 图3
解：(1)①在?ABCD中，AB＝6，直线EF垂直平分CD， ∴DE＝FH＝3.
又BF∶FA＝1∶5， ∴BF＝1，FA＝5. ∴AH＝2.
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴
HMHAHM2
＝.∴＝. FHHD34
3∴HM＝.
2
根据平移的性质，得MM′＝CD＝6，
131315
∴S四边形BHMM′＝S△BMM′＋S△BHM＝×6×＋×4×＝.
22222②连接CM交直线EF于点N，连接DN.
∴CN＝DN.
第 13 页
35
∵MH＝，∴DM＝.
22
在Rt△CDM中，MC2＝DC2＋DM2. 513
∴MC2＝62＋()2，即MC＝. 22
∵MN＋DN的最小值＝MN＋CN＝MC，
∴△DNM周长的最小值为9. (2)∵BF∥CE，
∴△DNM周长的最小值为9. (2)∵BF∥CE， ∴
QFBF1
＝＝. QF＋4CE3
∴QF＝2.
∴PK＝PK′＝6.
过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E′，交QK于点F′. 当点P在线段CE上时，
在Rt△PK′E′中，PE′2＝PK′2－E′K′2， ∴PE′＝25.
∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q， ∴∴
PE′E′K′
＝. K′F′F′Q254
＝. 2F′Q
45∴F′Q＝. 5
4565
∴PE＝PE′－EE′＝25－＝.
5515－65
∴CP＝CE－PE＝.
5
15＋65
同理可得，当点P在线段ED上时，CP＝. 515－6515＋65
综上可得，CP的长为或. 55
第 14 页
类型3 与动点有关的几何综合题
1．(2018·黄冈)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．
(1)当t＝2时，求线段PQ的长； (2)求t为何值时，点P与N重合；
(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围． 解：(1)当t＝2时，OM＝2，
在Rt△OPM中，∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan60°＝23. 在Rt△OMQ中，∠QOM＝30°，∴QM＝OM·tan30°＝2343∴PQ＝PM－QM＝23－＝. 33
20
(2)由题意，得8＋(t－4)＋2t＝24，解得t＝.
31
(3)①当0＜t＜4时，S＝·2t·43＝43t；
2
201
②当4≤t＜时，S＝×[8－(t－4)－(2t－8)]×43＝403－63t；
32201
③当≤t＜8时，S＝×[(t－4)＋(2t－8)－8]×43＝63t－403；
32④当8≤t≤12时，
S＝S菱形ABCO－S△AON－S△ABP－S△PCN
1113
＝323－(24－2t)×43－×[8－(t－4)]×43－(t－4)×[8－(24－2t)]
2222＝－32
t＋123t－563. 2
43t；（0＜t＜4）
23
. 3
?403－63t；（4≤t＜20）
3?
综上，S＝? 20
63t－403；（≤t＜8）
3
?－3t＋123t－563.（8≤t≤12）?2
2
2．(2018·青岛)已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16 cm，BC＝6 cm，CD＝8 cm.动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0＜t＜5.
根据题意解答下列问题： (1)用含t的代数式表示AP；
第 15 页